Многочлены Лагерра

В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

Многочлены Лагерра
Общая информация
Формула	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-<!--\; -\; -->x}{x}^n\right)$$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)$
Скалярное произведение	$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)e^{-<!--\; -\; -->x}dx$$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Область определения	$x\ge <!--\; \ge \; -->0$$x \ge 0$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$x{y}^{″}+(1-<!--\; -\; -->x)y^{\prime }+ny=0,$$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Названы в честь	Лагерр, Эдмон Никола

$x{y}^{″}+(1-<!--\; -\; -->x)y^{\prime }+ny=0,$$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)e^{-<!--\; -\; -->x}dx.$$\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.$

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как $L_0,L_1,\dots <!--\; \dots \; -->$$L_0,\;L_1,\;\ldots$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-<!--\; -\; -->x}{x}^n\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^k}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k.$$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\choose k}x^k.$

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)e^{-<!--\; -\; -->x}dx.$$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленовПравить

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

$n$$n$	$L_n(x)$$L_n(x)$
0	$1$$1$
1	$-<!--\; -\; -->x+1$$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-<!--\; -\; -->4x+2)$${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-<!--\; -\; -->x^3+9x^2-<!--\; -\; -->18x+6)$${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-<!--\; -\; -->16x^3+72x^2-<!--\; -\; -->96x+24)$${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-<!--\; -\; -->x^5+25x^4-<!--\; -\; -->200x^3+600x^2-<!--\; -\; -->600x+120)$${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-<!--\; -\; -->36x^5+450x^4-<!--\; -\; -->2400x^3+5400x^2-<!--\; -\; -->4320x+720)$${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)$

 

Первые 6 многочленов Лагерра.

Рекуррентная формулаПравить

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}[(2k+1-<!--\; -\; -->x)L_k(x)-<!--\; -\; -->k{L}_{k-<!--\; -\; -->1}(x)],\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k⩾<!--\; ⩾\; -->1,$$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad\forall k\geqslant 1,$ 

предопределив первые два полинома как:

$L_0(x)=1,$$L_0(x)=1,$ 

$L_1(x)=1-<!--\; -\; -->x.$$L_1(x)=1-x.$ 

Обобщённые полиномы ЛагерраПравить

Обобщённые полиномы Лагерра $L_n^a(x)$$L_n^a(x)$  являются решениями уравнения:

$x{y}^{″}+(a+1-<!--\; -\; -->x)y^{\prime }+ny=0,$$x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,$ 

так что $L_n(x)=L_n^0(x)$$L_n(x)=L_n^0(x)$ .