Алгебра множеств

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества $X$$X$, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

ОпределениеПравить

Семейство $\mathfrak{A}\subset <!--\; \subset \; -->2^X$${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$  подмножеств множества $X$$X$  (здесь $2^X$$2^{{X}}$  — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{A}.$$\varnothing \in {\mathfrak {A}}.$ 
2. Если множество $A\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{A}$$A\in {\mathfrak {A}}$ , то и его дополнение $X\setminus <!--\; \setminus \; -->A\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{A}.$$X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.$ 
3. Объединение двух множеств $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{A}$$A,B\in {\mathfrak {A}}$  также принадлежит $\mathfrak{A}.$${\mathfrak {A}}.$ 

ЗамечанияПравить

• По определению, если алгебра содержит множество $A$$A$ , то она содержит и его дополнение. Объединением $A$$A$  с его дополнением является исходное множество $X$$X$ . Дополнением к множеству $X$$X$  является пустое множество. Это означает, что множество $X$$X$  и пустое множество содержится в алгебре по определению.
• В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество $X$$X$  является пространством элементарных событий, то алгебра $\mathfrak{A}$${\mathfrak {A}}$  называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событийПравить

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ ;
• сигма-алгебра счётных подмножеств $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ ;
• алгебра подмножеств ${\mathbb{R}}^n$${{\mathbb {R}}}^{n}$ , образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ ;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Событие $A+B$$A+B$  или $A\cup <!--\; \cup \; -->B$$A\cup B$ , заключающееся в том, что из двух событий $A$$A$  и $B$$B$  происходит по крайней мере одно, называется суммой событий $A$$A$  и $B$$B$ .

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$ , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=1$$\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. такжеПравить

• Сигма-алгебра
• Кольцо множеств
• Аксиоматика Колмогорова
• Элементарное событие
• Событие (теория вероятностей)

ЛитератураПравить

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.