Билинейное преобразование

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{a}(s)\$ $H_{a}(s)\$ линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{d}(z)\$ $H_{d}(z)\$ линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $j\omega \$ $j\omega \$ -оси, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Re[s]=0\$ $Re[s]=0\$ , на s-плоскости в окружность единичного радиуса, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $|z|=1\$ $|z|=1\$ , на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $z\$ $z\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=e^{sT}\$ $=e^{{sT}}\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\$ $={\frac {e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$ $\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $T\$ $T\$ — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $s\$ $s\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $={\frac {1}{T}}\ln(z)\$ $={\frac {1}{T}}\ln(z)\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{a}(s)\$ $H_{a}(s)\$ на её дискретный аналог: