Модифицированное Z-преобразование

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

$F(z,m)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(kT+m)z^{-<!--\; -\; -->k}$$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

где

• T — период дискретизации
• m («параметр смещения») — часть периода дискретизации $[0,T).$$[0,T).$

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

СвойстваПравить

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

ЛинейностьПравить

$Z\left[\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{f}_k(t)\right]=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{k}F(z,m).$$Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).$ 

Сдвиг по времениПравить

$Z\left[u(t-<!--\; -\; -->nT)f(t-<!--\; -\; -->nT)\right]=z^{-<!--\; -\; -->n}F(z,m).$$Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).$ 

ОслаблениеПравить

$Z\left[f(t)e^{-<!--\; -\; -->at}\right]=e^{-<!--\; -\; -->am}F(e^{aT}z,m).$$Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).$ 

Умножение аргументаПравить

$Z\left[t^{y}f(t)\right]={\left(-<!--\; -\; -->Tz\frac{d}{dz}+m\right)}^{y}F(z,m).$$Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).$ 

Теорема о конечном значенииПравить

$\underset{k=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f(kT+m)=\underset{k=1+}{lim}F(z,m).$$\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).$ 

Таблица основных преобразованийПравить

f(t)	F(z, m)
1(t)	$\frac{z}{z-<!--\; -\; -->1}$${\frac {z}{z-1}}$
t	$\frac{zmT}{z-<!--\; -\; -->1}+\frac{zT}{(z-<!--\; -\; -->1{)}^2}$${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e-at	$\frac{z{e}^{-<!--\; -\; -->amT}}{z-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->aT}}$${\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
1 — e-at	$\frac{z}{z-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{z{e}^{-<!--\; -\; -->amT}}{z-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->aT}}$${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
sin ωt	$\frac{z^2\sin <!--\; \; -->(m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)+z\sin <!--\; \; -->[(1-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T]}{z^2-<!--\; -\; -->2z\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T+1}$${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}$

ПримерПравить

Пусть оригинал для преобразования $f(t)=\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$f(t)=\cos(\omega t)$ . Тогда:

$F(z,m)=Z\left[\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(kT+m\right)\right)\right]$$F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]$ 

$F(z,m)=Z\left[\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}kT)\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}kT)\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)\right]$$F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]$ 

$F(z,m)=\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)Z\left[\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}kT)\right]-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)Z\left[\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}kT)\right]$$F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]$ 

$F(z,m)=\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)\frac{z\left(z-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)\right)}{z^2-<!--\; -\; -->2z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)+1}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)\frac{z\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)}{z^2-<!--\; -\; -->2z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)+1}$$F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}$ 

$F(z,m)=\frac{z^2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)-<!--\; -\; -->z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(T-<!--\; -\; -->m))}{z^2-<!--\; -\; -->2z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)+1}.$$F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.$ 

Если $m=0$$m=0$ , то $F(z,m)$$F(z,m)$  совпадает с Z-преобразованием:

$F(z,0)=\frac{z^2-<!--\; -\; -->z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)}{z^2-<!--\; -\; -->2z\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)+1}$$F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}$