Символ Кронекера

Не следует путать с символом Кронекера — Якоби.

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}$

Например, ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{12}=0$$\delta _{12}=0$, но ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{33}=1$$\delta _{33}=1$.

ИспользованиеПравить

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса $(e_i,e_j)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$(e_{i},e_{j})=\delta _{{ij}}$ , а также — в общем случае — для определения дуальных базисов $(e_i,f^j)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i^j$$(e_{i},f^{j})=\delta _{i}^{j}$ , где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: $({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}{)}_{i,j=1}^n$$(\delta _{{ij}})_{{i,j=1}}^{n}$  (элементы единичной матрицы записываются как ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{{ij}}$ ).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор. В частности, могут использоваться различные написания ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i,{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{ij}$$\delta _{{ij}},\delta _{j}^{i},\delta ^{{ij}}$  для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i,{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{ij}$$\delta _{{ij}},\delta _{j}^{i},\delta ^{{ij}}$  — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех).

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

ИсторияПравить

Символ был введён Кронекером в 1866 году.

См. такжеПравить

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция