Q-тест Льюнг — Бокса

$Q$$Q$-тест Льюнг — Бокса — статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временны́х рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции.

Формальное определениеПравить

$Q$$Q$ -тест Льюнг — Бокса может быть определён следующим образом. Выдвигаются две конкурирующие гипотезы:

$H_0$$H_{0}$ : данные являются случайными (то есть представляют собой белый шум).

$H_a$$H_a$ : данные не являются случайными.

Проводится статистическое испытание:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Q}=n\left(n+2\right)\underset{k=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_k^2}{n-<!--\; -\; -->k},$${\tilde{Q}}=n\left(n+2\right)\sum_{k=1}^m\frac{\hat{\rho}^2_k}{n-k},$ 

где $n$$n$  — число наблюдений, ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_k$$\hat{\rho}_k$  — автокорреляция $k$$k$ -го порядка, и $m$$m$  — число проверяемых лагов. Если

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Q}>{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},m}^2,$${\tilde{Q}}>\chi_{1-\alpha,\;m}^2,$ 

где ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},m}^2$$\chi_{1-\alpha,\;m}^2$  — квантили распределения хи-квадрат с $m$$m$  степенями свободы, то нулевая гипотеза отвергается, и признаётся наличие автокорреляции до $m$$m$ -го порядка во временном ряду. $Q$$Q$ -тест Льюнг — Бокса основан на статистике Бокса — Пирса. Так, он имеет такое же асимптотическое распределение и при относительно больших значениях числа наблюдений даёт схожие результаты. Но распределение теста Льюнг — Бокса ближе к ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$  для конечных выборок. Кроме того, критерий не теряет своей состоятельности, даже если процесс не имеет нормального распределения (при наличии конечной дисперсии). $Q$$Q$ -тест Льюнг — Бокса обычно используется при построении моделей ARIMA. При этом следует иметь в виду, что данное тестирование применяется к остаткам полученной модели ARIMA, а не к исходным данным.

См. такжеПравить

• Критерий Дарбина — Уотсона
• Q-статистика Бокса — Пирса
• Метод рядов