Критерий Дарбина — Уотсона

Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика Дарбина—УотсонаПравить

Критерий назван в честь Джеймса Дарбина^ru_en и Джеффри Уотсона^ru_en. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

${\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}$ 

где ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$  — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{Y}=\mathit{X}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\vec Y}={\boldsymbol {X}}{\vec \beta }+{\vec \varepsilon }$  ошибки специфицированы как ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{t-<!--\; -\; -->1}+v_t$$\varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{{t-1}}+v_{t}$ , где $v_t$$v_{t}$  распределено, как белый шум. $\mathbb{E}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t)=0$${\mathbb {E}}(\varepsilon _{t})=0$ , $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}<!--\; \; -->({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t)=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_v^2}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}$${\mathop {{\mathrm {Var}}}}(\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}$ , а $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}<!--\; \; -->({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{t-<!--\; -\; -->1})=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$${\mathop {{\mathrm {Corr}}}}(\varepsilon _{t},\varepsilon _{{t-1}})=\rho$ , где $|\rho |<1$ .

В случае отсутствия автокорреляции $DW=2$$DW=2$ ; при положительной автокорреляции $DW$$DW$  стремится к нулю, а при отрицательной — к 4:

$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->DW=2;\\ {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->DW=0;\\ {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=-<!--\; -\; -->1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->DW=4.\end{array}$${\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}$ 

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины $DW$$DW$  с теоретическими значениями $d_L$$d_{L}$  и $d_U$$d_{U}$  для заданного числа наблюдений $n$$n$ , числа независимых переменных модели $k$$k$  и уровня значимости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

1. Если $DW<d_{L}$ , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
2. Если $DW>d_U$$DW>d_{U}$ , то гипотеза не отвергается;
3. Если $d_{L}<DW<d_{U}$ , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение $DW$$DW$  превышает 2, то с $d_L$$d_{L}$  и $d_U$$d_{U}$  сравнивается не сам коэффициент $DW$$DW$ , а выражение $(4-<!--\; -\; -->DW)$$(4-DW)$ .

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

НедостаткиПравить

1. Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок.
4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная $DW$$DW$ , была рассчитана Farebrother).
5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если $v$$v$  имеет распределение, отличающееся от нормального.

h-критерий ДарбинаПравить

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется $h$$h$ -критерий Дарбина.

$h$$h$ -статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть $Y_{t-<!--\; -\; -->1}$$Y_{{t-1}}$ . На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий $h$$h$  Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

$h=\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}DW\right)\sqrt{\frac{n}{1-<!--\; -\; -->n\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}<!--\; \; -->(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}})}},$$h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {{\frac {n}{1-n\cdot {\mathop {{\mathrm {Var}}}}({\hat \gamma })}}}},$ 

где

• $n$$n$  — число наблюдений в модели;
• $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}<!--\; \; -->(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}})$${\mathop {{\mathrm {Var}}}}({\hat \gamma })$  — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной $Y_{t-<!--\; -\; -->1}$$Y_{{t-1}}$ .

При увеличении объёма выборки распределение $h$$h$ -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение $h$$h$ -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при $Y_{t-<!--\; -\; -->1}$$Y_{{t-1}}$  велика, то процедура невыполнима.

Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данныхПравить

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

$d{w}_p=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{t=2}{\overset{T}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(e_{i,t}-<!--\; -\; -->e_{i,t-<!--\; -\; -->1}{)}^2}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{t=1}{\overset{T}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_{i,t}^2}.$$dw_{p}={\dfrac {\sum \limits _{{i=1}}^{N}\sum \limits _{{t=2}}^{T}(e_{{i,\;t}}-e_{{i,\;t-1}})^{2}}{\sum \limits _{{i=1}}^{N}\sum \limits _{{t=1}}^{T}e_{{i,\;t}}^{2}}}.$ 

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов.

См. такжеПравить

• Тест Бройша—Годфри
• Q-тест Льюнга — Бокса
• Метод Кохрейна — Оркатта
• Метод рядов

ЛитератураПравить

• Anatolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions). — 2002-2003.

СсылкиПравить

Значения критерия Дарбина — Уотсона