Эффект Шубникова — де Хааза

Эффект Шубникова — де Хааза (эффект Шубникова — де Гааза) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).

Причина возникновенияПравить

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

$E_n^{LL}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\left(n+\frac{1}{2}\right),$$E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),$ 

где $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  — постоянная Планка, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c=\frac{eB}{m^{\ast <!--\; \ast \; -->}c}$$\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$  — циклотронная частота осциллятора Ландау, $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$  — эффективная масса электрона, $n=0,1,\mathrm{2...}$$n=0,1,2...$  — номер уровня Ландау, $c$$c$  — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ $DOS(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$DOS(\varepsilon )$  в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

$DOS(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\left(n+\frac{1}{2}\right)\right).$$DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}.$ 

Пусть уровень Ферми $E_F$$E_F$  зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии $E_F=E_n^{LL}$$E_{F}=E_{n}^{{LL}}$  уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\left(\frac{1}{B}\right)$$\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$  определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

$n_{2DEG}=\frac{2e}{h}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(1/B)},$$n_{{2DEG}}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},$ 

где $e$$e$  — заряд электрона, $h$$h$  — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Двумерный случайПравить

Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости $xy$$xy$ ) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$ . Сильное магнитное поле $\mathit{B}$${\boldsymbol {B}}$  направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\gg <!--\; \gg \; -->1$$\omega _{c}\tau \gg 1$  (${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c=eB/m^{\ast <!--\; \ast \; -->}c$$\omega _{c}=eB/m^{*}c$  — циклотронная частота), то есть энергетический спектр квантован. Температуру $T$$T$  полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\gg <!--\; \gg \; -->T,\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}/\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau$ , $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{yy}=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0}{1+{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2}\left[1+\frac{2{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2}{1+{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0}\right]$$\sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}}}\left[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right]$ ,

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xy}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{yx}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{1+{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2}\left\{1-<!--\; -\; -->\frac{3{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2+1}{{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2\left[1+{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2\right]}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0}\right\}$$\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau }{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1}{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}$ ,

где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0$$\sigma _{0}$  — электропроводность в отсутствии магнитного поля, определяемая формулой Друде.

Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\Delta \nu$  к плотности состояний в отсутствие магнитного поля, ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0\gg <!--\; \gg \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu _{0}\gg \Delta \nu$ :

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0}=2\underset{s=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}T/\left(\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\right)}{\sinh <!--\; \; -->\left(2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}T/\left(\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\right)\right)}\cos <!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s\right)$${\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}=2\sum \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)}{\sinh \left(2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)}}\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F}}}{\hbar \omega _{c}}}-\pi s\right)$ ,

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$  — энергия Ферми.

Компоненты тензора сопротивления ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{ik}$${{\rho }_{ik}}$  , обратного тензору проводимости, ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ik}^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{ik}$$\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}$ , имеют простой вид:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{xx}=\frac{1}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0}\left(1+2\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0}\right)$${{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)$ ,

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{xy}=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}^2}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_0}\right)$${{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)$ .

Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней ($g_{zz}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{B}B\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c$$g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c}$ , ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B$$\mu _{B}$  — магнетон Бора, $g_{zz}$$g_{zz}$  — компонента тензора g—фактора электронов).

Трёхмерный случайПравить

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_0\left(1+\underset{r=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_r\cos <!--\; \; -->\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}r-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right)\right)$$\sigma _{{xx}}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$ 

$b_r=(-<!--\; -\; -->1{)}^r\frac{5}{2}\frac{1}{(2\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}r{)}^{1/2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_e}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}{\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_e}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{\frac{-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_D}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}gr{m}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{2m_0}$$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$ 

где $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=E_F/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c$$\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$ , $T_D$$T_D$  — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  уровня как $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{k}_B{T}_D=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$ , $k_B$$k_B$  — постоянная Больцмана, $T_e$$T_{e}$  — температура электронного газа, $g$$g$  — множитель Ландэ для электрона ($g$$g$ -фактор), $m_0$$m_{{0}}$  — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в виде

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{0L}\left(1-<!--\; -\; -->\underset{r=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_r\cos <!--\; \; -->\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}r-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right)\right)$$\sigma _{{xx}}=\sigma _{{0L}}\left(1-\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$ 

$b_r=(-<!--\; -\; -->1{)}^r\frac{1}{(2\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}r{)}^{1/2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_e}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}{\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_e}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{\frac{-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}r{k}_B{T}_D}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}gr{m}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{2m_0}$$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$ 

где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{0L}=\frac{2e^2\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}_s^2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}^2{k}_{B}T{m}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}\frac{E_F}{3}$$\sigma _{{0L}}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{{*}}}}{\frac {E_{F}}{3}}$  ($\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}$$\Xi$  — деформационный потенциал, $v_s$$v_s$  — скорость звука, $T$$T$  — температура).

Произвольный закон дисперсииПравить

При произвольном законе дисперсии электронов проводимости $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathbf{p}\right)$$\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$  ($\mathbf{p}$${\mathbf {p}}$  — квазиимпульс) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathbf{p}\right)={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}$  (${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$${\varepsilon }_{F}$  — энергия Ферми).

В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена, в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ik}$${{\sigma }_{ik}}$  ($i,k=x,y,z$$i,k=x,y,z$ ) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния. Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$  на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}$$\sigma_{xx}$ , ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{yy}$$\sigma_{yy}$  (магнитное поле $\mathbf{H}$$\mathbf {H}$  направлено вдоль оси $z$$z$ ) в скрещенных полях ($\mathbf{E}\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}\mathbf{H}$$\mathbf {E} \bot \mathbf {H}$ ) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}/{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}$$\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}$  в квазиклассическом приближении имеет порядок:

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{zz}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{zz}}\sim <!--\; \sim \; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}}\sim <!--\; \sim \; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{yy}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{yy}}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\left({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F\right)\underset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\left(\frac{m_c{S}_m}{H}\right)}^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{M}_{osc}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}$${\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}}{{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{-1}}\left({{\varepsilon }_{F}}\right)\sum \limits _{m}{{{\left({\frac {m_{c}{{S}_{m}}}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H}}}$ ,

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\left({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F\right)$$\nu \left({{\varepsilon }_{F}}\right)$  — плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми; $m_c=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{S}_m}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F}$${{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_{F}}}}$  — циклотронная масса электрона; $S_m({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F)$${S}_{m}(\varepsilon _{F})$  — площади экстремальных сечений ($\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{S}_m/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_H=0$$\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0$ ) поверхности Ферми плоскостями $p_H=const$${p_{H}}=const$ , где $p_H$$p_{H}$  — проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля; $M_{osc}$$M_{osc}$  — осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу $m$$m$  проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича

$M_{osc}\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->A_{LK}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{c}{e\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}H}{S}_m\mp <!--\; \mp \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{m_c}{m_0}\right);$${{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);$ 

где

$A_{LK}=\frac{V}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^3}{\left(\frac{e\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{c}\right)}^{3/2}\frac{S_m\sqrt{H}}{{\left|{}^{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{S}_m}\mathrm{╱<!--\; ╱\; -->}{}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_H^2}\right|}^{1/2}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{S}_m/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\left(\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}T}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}\right)$$A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}}}\right)$ .

Формула справедлива при выполнении неравенств:

$T\ll <!--\; \ll \; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}eH}{m_{c}c}\ll <!--\; \ll \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F;\frac{e\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}H}{2m_{0}c}\ll <!--\; \ll \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F;$$T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad {\frac {e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};$ 

где $V$$V$  — объём металла, $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\left(z\right)=z/\sinh <!--\; \; -->z$$\Psi \left(z\right)=z/\sinh z$ , $T$$T$  — температура, $m_0$$m_{0}$  — масса свободного электрона, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c=\frac{eH}{m_{c}c}$${{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}$  — циклотронная частота, $\gamma <1$ , постоянная Больцмана $k_B=1$$k_{B}=1$ .

Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\left(\frac{1}{H}\right)=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}e\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{c{S}_m}$$\Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar }{c{{S}_{m}}}}$ .

См. такжеПравить

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)
• Эффект де Гааза — ван Альфена

ЛитератураПравить

• Ridley B. K. Квантовые процессы в полупроводниках = Quantum Processes in semiconductors. — 4-е. — Oxford: Clarendon Press, 1999. — 436 с. — ISBN 0-19-850580-9.