Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене

Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене (в русском языке также распространено написание Осцилляции Шубникова — де Гааза) впервые наблюдали в 2005 году. Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний в магнитном поле.

Период осцилляцийПравить

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении релятивистских уровней Ландау s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми (${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$ ) следующие соотношения:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c^s\sqrt{s},$$\varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s}{\sqrt {s}},$ 

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c^{s+1}\sqrt{s+1},$$\varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s+1}{\sqrt {s+1}},$ 

где «циклотронная частота» ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c^s=\sqrt{2}\frac{v_F}{l_{B_s}}=v_F\sqrt{\frac{2e{B}_s}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}}$$\omega _{c}^{s}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B_{s}}}}=v_{F}{\sqrt {\frac {2eB_{s}}{\hbar }}}$ , а магнитная длина $l_{B_s}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{e{B}_s}}$$l_{B_{s}}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB_{s}}}}$ , $s$$s$  — натуральное число 1, 2, 3, …, $v_F$$v_{F}$  — фермиевская скорость, $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  — постоянная Планка, $e$$e$  — элементарный заряд, $B_s$$B_{s}$  — магнитное поле, соответствующее s-му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна $n=\frac{g_s{g}_v{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{v}_F^2}$$n={\frac {g_{s}g_{v}\varepsilon _{F}^{2}}{4\pi \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}$ . Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}n=\frac{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F^2}{v_F^2}=2se{B}_s\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->},$$\pi \hbar ^{2}n={\frac {\varepsilon _{F}^{2}}{v_{F}^{2}}}=2seB_{s}\hbar ,$ 

или

$s=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}n}{2e{B}_s},$$s={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s}}},$ 

$s+1=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}n}{2e{B}_{s+1}}.$$s+1={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s+1}}}.$ 

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{B}_s^{-<!--\; -\; -->1}$$\Delta B_{s}^{-1}$ :

$1=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}n}{2e}\left(\frac{1}{B_{s+1}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{B_s}\right)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}n}{2e}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{B}_s^{-<!--\; -\; -->1}.$$1={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\left({\frac {1}{B_{s+1}}}-{\frac {1}{B_{s}}}\right)={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\Delta B_{s}^{-1}.$ 

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

$n=\frac{2e}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{B}_s^{-<!--\; -\; -->1}}$$n={\frac {2e}{\pi \hbar \Delta B_{s}^{-1}}}$ 

или фундаментальную частоту $B_F$$B_{F}$ 

$n=\frac{2e}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{B}_F.$$n={\frac {2e}{\pi \hbar }}B_{F}.$ 

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — ШараповаПравить

В статье Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\text{osc}}=\frac{4e^2|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}|}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^2)\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^2)}{(\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB{)}^2+(2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{)}^2}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^2)}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB}\right)R_T(k,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})R_D(k,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}),$$\sigma _{\text{osc}}={\frac {4e^{2}|\mu |}{\pi }}{\frac {(\mu ^{2}-\Delta ^{2}+\Gamma ^{2})\Theta (\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{(\hbar v_{F}^{2}eB)^{2}+(2\mu \Gamma )^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi k(\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right)R_{T}(k,\mu )R_{D}(k,\mu ),$ 

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(x)$$\Theta (x)$  — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

$R_T(k,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}kT\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB}{\sinh <!--\; \; -->(2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}kT\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB)},$$R_{T}(k,\mu )={\frac {2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB}{\sinh(2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB)}},$ 

а множитель Дингля

$R_D(k,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\exp <!--\; \; -->\left(\frac{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}|\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB}\right).$$R_{D}(k,\mu )=\exp \left({\frac {-2\pi k|\mu |\Gamma }{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right).$ 

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау (${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2\gg <!--\; \gg \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^2$$\mu ^{2}\gg \Delta ^{2}+\Gamma ^{2}$ ), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.