Эргодическая мера

Эргодическая мера — в теории динамических систем инвариантная мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$, не представимая в виде комбинации нескольких различных инвариантных мер, то есть, если некоторое инвариантное множество $A$$A$ имеет положительную меру $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>0$$\mu (A)>0$, то мера его дополнения равна нулю $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(P\setminus <!--\; \setminus \; -->A)=0$$\mu (P\setminus A)=0$.

ПримерыПравить

• Рассмотрим динамическую систему: $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=x-<!--\; -\; -->x^3$${\dot {x}}=x-x^{3}$ . У неё есть три неподвижные точки:

$x_1=0,x_2=1,x_3=-<!--\; -\; -->1$$x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1$  и три соответствующие им эргодических меры $p_1(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x),p_2(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->1),p_3(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x+1)$$p_{1}(x)=\delta (x),p_{2}(x)=\delta (x-1),p_{3}(x)=\delta (x+1)$ .

• Рассмотрим динамическую систему, проходящую периодическую траекторию — цикл $x_1,x_2,...,x_n$$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ .

Эргодическая мера имеет вид: $p(x)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->x_i)$$p(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta (x-x_{i})$ .

См. такжеПравить

• Эргодичность

ЛитератураПравить

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.