Эргодичность

Запрос «Эргодическая теория»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\;\Sigma ,\;\mu \,)$  есть вероятностное пространство и $T:X\to <!--\; \to \; -->X$$T:X\to X$  — отображение, сохраняющее меру.

Отображение T эргодично по отношению к $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , если выполнено следующее условие:

для любого T-инвариантного подмножества $E\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$E\in \Sigma$  (то есть такого, что $T^{-<!--\; -\; -->1}(E)=E$$T^{-1}(E)=E$ ) либо $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(E)=0$$\mu (E)=0$ , либо $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(E)=1$$\mu (E)=1$ .

ЗамечанияПравить

Определение эквивалентно следующим условиям,

• Для любого подмножества $E\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$E\in \Sigma$  положительной меры имеем

  $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{T}^{-<!--\; -\; -->n}E\right)=1$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}E\right)=1$ ;

• Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *:$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}((T^{-<!--\; -\; -->n}E)\cap <!--\; \cap \; -->H)>0$$\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$ ;
• Любая T-инвариантная измеримая функция $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X\to \mathbb {R}$  почти везде постоянна.

См. такжеПравить

• Преобразование пекаря
• Теорема Биркгофа — Хинчина
• Динамический хаос
• Эргодическая гипотеза

ЛитератураПравить

• В. И. Арнольд, А. Авец. Эргодические проблемы классической механики. — Москва—Ижевск: РХД, 1999.
• И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943.
• Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949.
• Халмош П. Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959.
• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
• J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
• J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.

СсылкиПравить

• Эргодическая теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.