Объект категории

Объе́кт катего́рии — базовое, неопределяемое понятие теории категорий, применяемое для обозначения элементов категории, в роли которых могут выступать математические объекты, объединяемые заданной категорией в совокупность — таковыми могут быть, например, множества (объекты категории множеств), алгебраические системы определённого класса (например, кольца — объекты категории колец), топологические пространства (объекты категории топологических пространств), схемы (объекты категории схем).

Кроме класса объектов, каждая категория состоит также из класса морфизмов — совокупностей преобразований объектов; при этом морфизмы одной категории могут рассматриваться как объекты в какой-либо другой или наоборот, то есть, разделение составляющих категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в рамках фиксированной категории.

Для заданной категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$ класс её объектов обычно обозначается $O{b}_{\mathcal{C}}$$Ob_{{\mathcal C}}$. Всякому объекту $A\in <!--\; \in \; -->O{b}_{\mathcal{C}}$$A\in Ob_{{\mathcal C}}$ соответствует единственный единичный морфизм $1_A:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$1_{A}\colon A\to A$, притом уникальный в данной категории, то есть единичные морфизмы разных объектов совпадать не могут. Благодаря этому факту можно определить понятие категории не прибегая к введению объектов, а лишь с помощью морфизмов. Кроме того, в построениях теории высших категорий объекты называют «0-морфизмами», морфизмы объектов (морфизмы в обычном смысле) — «1-морфизмами», морфизмы морфизмов — «2-морфизмами» и так далее, тем самым подчёркивая общность объектов и их преобразований в категорном языке. Тем не менее, понятие объекта категории является удобным для описания соответствующего вида элементов, поэтому практически всегда используется.

Некоторые типы объектовПравить

• Объект $P\in <!--\; \in \; -->Ob\mathcal{C}$$P\in Ob\,{\mathcal C}$  называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом, если для любого объекта $A\in <!--\; \in \; -->Ob\mathcal{C}$$A\in Ob\,{\mathcal C}$  существует единственный морфизм $A\stackrel{f}{⟶<!--\; ⟶\; -->}P$$A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P$ .
• Объект $R\in <!--\; \in \; -->Ob\mathcal{C}$$R\in Ob\,{\mathcal C}$  называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом, если для любого объекта $A\in <!--\; \in \; -->Ob\mathcal{C}$$A\in Ob\,{\mathcal C}$  существует единственный морфизм $R\stackrel{f}{⟶<!--\; ⟶\; -->}A$$R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A$ .
• Объект $R\in <!--\; \in \; -->Ob\mathcal{C}$$R\in Ob\,{\mathcal C}$  называется нулевым, если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.

ЛитератураПравить

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.