Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $A$$A$, $B$$B$ множество $\text{Hom}(A,B)$${\text{Hom}}(A,B)$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

$(g_1+g_2)\circ <!--\; \circ \; -->f=g_1\circ <!--\; \circ \; -->f+g_2\circ <!--\; \circ \; -->f$$(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f$

$g\circ <!--\; \circ \; -->(f_1+f_2)=g\circ <!--\; \circ \; -->f_1+g\circ <!--\; \circ \; -->f_2$$g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}$

Предаддитивную категорию иногда называют также $Ab$$Ab$-категорией.

ПримерыПравить

• Категория абелевых групп $\mathbf{A}\mathbf{b}$${\mathbf {Ab}}$ .
• Категории левых R-модулей $R\text{-}\mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{d}$$R{\mbox{-}}{\mathbf {Mod}}$  и правых R-модулей $\mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{d}\text{-}R$${\mathbf {Mod}}{\mbox{-}}R$ .

Аддитивные функторыПравить

Функтор $T:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$T\colon A\to B$  называется аддитивным, если каждое отображение $T:<!--\; :\; -->{\text{Hom}}_A(a_1,a_2)\to <!--\; \to \; -->{\text{Hom}}_B(T{a}_1,T{a}_2)$$T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$  является гомоморфизмом абелевых групп.

Если $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  и $\mathcal{D}$${\mathcal D}$  — категории, причём $\mathcal{D}$${\mathcal D}$  предаддитивна, то категория функторов $Funct(\mathcal{C},\mathcal{D})$$Funct({\mathcal C},{\mathcal D})$  также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  тоже предаддитивна, то категория $Add(\mathcal{C},\mathcal{D})$$Add({\mathcal C},{\mathcal D})$  аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  предаддитивна, то категория $Mod(\mathcal{C}):=Add(\mathcal{C},\mathbf{A}\mathbf{b})$$Mod({\mathcal C}):=Add({\mathcal C},{\mathbf {Ab}})$  называется категорией модулей над $\mathcal{C}$${\mathcal C}$ . Если $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  — предаддитивная категория из одного объекта — кольца $R$$R$ , это приводит к обычному определению (левых) $R$$R$ -модулей.

$Ab\text{-}\mathbf{C}\mathbf{a}\mathbf{t}$$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Cat}}$  — категория всех малых $Ab$$Ab$ -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаиПравить

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

ЛитератураПравить

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.