Поризм Понселе

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

История Править

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»).

Частный случай для треугольников следовал из теоремы Эйлера.

Формулировка Править

Пусть $A_1{A}_2\dots <!--\; \dots \; -->A_n$$A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$  — многоугольник с $n$$n$  различными вершинами, вписанный в конику $C$$C$  и описанный около другой коники $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ . Тогда для любых точек $B_1,B_2$$B_{1},B_{2}$  коники $C$$C$ , таких, что $B_1\ne <!--\; \ne \; -->B_2$$B_{1}\neq B_{2}$  и $B_1{B}_2$$B_{1}B_{2}$  касается $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ , существует многоугольник $B_1{B}_2\dots <!--\; \dots \; -->B_n$$B_{1}B_{2}\ldots B_{n}$ , вписанный в $C$$C$  и описанный около $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ .

Замечания Править

• Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками, так что это — особый случай поризма Понселе может быть выражен лаконично, учитывая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного множества бицентрических многоугольников относительно одних и тех же двух кругов.

Алгебраическое доказательство Править

Рассмотрим множество пар вида «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из неё ко внутренней». Это множество может быть определено алгебраическим уравнением в произведении проективной плоскости и двойственной к ней (то есть множества прямых на исходной плоскости), которое является проективным благодаря вложению Сегре. Ясно, что в общей конфигурации получившееся алгебраическое многообразие будет невырожденной кривой. Вычислим её род по формуле Римана — Гурвица^[en]: это многообразие естественным образом (отображением забывания прямой) проецируется на внешнее коническое сечение, причём над общей точкой будет висеть два прообраза, и лишь только в четырёх точках — точках пересечения конических сечений, существование которых гарантируется теоремой Безу, — оно имеет один прообраз, то есть оно разветвлено в этих четырёх точках, и только в них. Стало быть, эйлерова характеристика накрывающей кривой равна $2(2-<!--\; -\; -->4)+4=0$$2(2-4)+4=0$ , то есть кривая имеет род 1 и в силу невырожденности является эллиптической кривой.

Будем стартовать из какой-то точки, проводя касательные. Имея выделенную точку старта и направление обхода, мы получаем последовательность пар типа «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из ней ко внутренней». Заметим, что одной невырожденной точке на внешней конике соответствуют две точки на эллиптической кривой (соответствующие двум исходящим из ней касательным), и сумма их как точек эллиптической кривой даёт отображение из внешней коники в эллиптическую кривую, которое является отображением в точку, поскольку может быть поднято на универсальную накрывающую — комплексную плоскость, где, в силу компактности сферы, оно будет ограниченным и, по теореме Лиувилля, постоянным. Стало быть, переброска касательной, исходящей из одной точки, задаётся отображением $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x$$x\mapsto \xi -x$ , где $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  — константа. Аналогично переброска точки, лежащей на касательной, имеет вид $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->x$$x\mapsto \zeta -x$ , а их композиция, таким образом, имеет вид $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+x$$x\mapsto \zeta -\xi +x$ ; но композиция — это построение следующей стороны цепи по предыдущей, и замыкание цепи равносильно тому, что $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\zeta -\xi$  лежит в кручении эллиптической кривой как группы по сложению, и, стало быть, не зависит от начальной точки; равно так же от неё не зависит и порядок кручения, то есть число шагов, за которое цепь замкнётся.

Вариации и обобщения Править

Теорема Кэли Править

Пусть $f$$f$  — окружность $x^2+y^2=1$$x^{2}+y^{2}=1$ , а $g$$g$  — эллипс $a{x}^2+b{y}^2=1$$ax^{2}+by^{2}=1$ . Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции $\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(1+t)}=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\dots <!--\; \dots \; -->$${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots$ . (Каждый коэффициент $c_i$$c_{i}$  вычисляется через $a$$a$  и $b$$b$ , например, $c_0=ab$$c_{0}=ab$ .) А именно:

1. Цепь Понселе пары $f$$f$  и $g$$g$  зацикливается за $2m+1$$2m+1$  шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.$ 

2. Цепь Понселе пары $f$$f$  и $g$$g$  зацикливается за $2m$$2m$  шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.$ 

Теорема Шварца Править

Пусть $A_0{A}_1\dots <!--\; \dots \; -->$$A_{0}A_{1}\dots$  — цепь Понселе. Обозначим через ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_i$$\ell _{i}$  прямую $A_i{A}_{i+1}$$A_{i}A_{{i+1}}$  и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_i\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_j$$B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}$ . Тогда для любого целого $k$$k$ 

1. Все точки $B_{i,i+k}$$B_{{i,i+k}}$  лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки $B_{i,k-<!--\; -\; -->i}$$B_{{i,k-i}}$  лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналог Править

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерные подпространства в $(2n+1)$$(2n+1)$ -мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух $2n$$2n$ -мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой). Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее $n-<!--\; -\; -->2$$n-2$ . Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

$z_0^2+z_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+z_{2n+1}^2=0,$$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$ 

$b_0{z}_0^2+b_1{z}_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_{2n+1}{z}_{2n+1}^2=0$$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$ 

для некоторых коэффициентов $b_0,b_1,\dots <!--\; \dots \; -->b_{2n+1}$$b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}$ ), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

$y^2=(x-<!--\; -\; -->b_0)(x-<!--\; -\; -->b_1)\dots <!--\; \dots \; -->(x-<!--\; -\; -->b_{2n+1}).$$y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).$ 

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если $Q$$Q$  — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за $Q_1$$Q_1$  и $Q_2$$Q_{2}$ ), $E_1$$E_1$  и $E_2$$E_2$  — два $n$$n$ -мерных подпространства, лежащих на $Q$$Q$  и относящихся к одному и тому же связному семейству, и $E_i$$E_{i}$  высекает на пересечении двух квадрик два $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерных подпространства ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{i1}$$\ell _{i1}$  и ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{i2}$$\ell _{i2}$ , то сложение однозначно определяется правилом ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{11}+{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{12}={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{21}+{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{22}$$\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$  (и выбором нуля). К примеру, если $n=1$$n=1$ , то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку $O$$O$  в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки $A$$A$  и $B$$B$ , проведём прямую $AB$$AB$ , и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой $AB$$AB$ , дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая $AB$$AB$ , будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую $p$$p$ , проходящую через точку $O$$O$ . Вторая точка пересечения прямой $p$$p$  с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой $A+B$$A+B$ .

См. также Править

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) включает частный случай поризма Понселе для $n=3$$n=3$ .

Литература Править

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Ссылки Править

• Живой чертёж.
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архивная копия от 27 апреля 2016 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.