Хи-распределение

Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$.

Распределение хи
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$k>0$$k>0\,$ (степени свободы)
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$x\in [0,\infty )$
Плотность вероятности	$\frac{1}{2^{(k/2)-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}{x}^{k-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2/2}$${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}$
Функция распределения	$P(k/2,x^2/2)$$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Математическое ожидание	$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}$$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Медиана	примерно $\sqrt{k(1-<!--\; -\; -->\frac{2}{9k}{)}^3}$${\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}$
Мода	$\sqrt{k-<!--\; -\; -->1}$${\sqrt {k-1}}\,$ если $k\ge <!--\; \ge \; -->1$$k\geq 1$
Дисперсия	${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2$$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Коэффициент асимметрии	${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^3}(1-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
Коэффициент эксцесса	$\frac{2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Дифференциальная энтропия	$\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2))+$$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ $\frac{1}{2}(k-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(2)-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_0(k/2))$${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
Производящая функция моментов	См. в тексте
Характеристическая функция	См. в тексте

Если $Z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,Z_k$$Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика

$Y=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{Z}_i^2}$$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}$

распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения $s$$s$ разделить на ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1/\sqrt{n-<!--\; -\; -->1}$$\mu _{1}/{\sqrt {n-1}}$, где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1$$\mu _{1}$ — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — $k$$k$, который задаёт число степеней свободы (то eсть количество $Z_i$$Z_{i}$).

Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).

ОпределениеПравить

Плотность вероятностиПравить

Плотность вероятности хи распределения равна

$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  — гамма-функция.

Функция распределенияПравить

Функция распределения равна:

$F(x;k)=P(k/2,x^2/2)$$F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,$ 

где $P(k,x)$$P(k,x)$  — регуляризованная гамма-функция.

Производящие функцииПравить

Производящая функция моментов равна:

$M(t)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2}\right)+t\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}\right),$$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),$ 

где $M(a,b,z)$$M(a,b,z)$  — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t;k)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-<!--\; -\; -->t^2}{2}\right)+it\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-<!--\; -\; -->t^2}{2}\right).$$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).$ 

СвойстваПравить

МоментыПравить

Моменты вычисляются по формуле:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_j=2^{j/2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+j)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}$$\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  — гамма-функция. Первые шесть моментов задаются по следующим формулам:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}$$\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2=k$$\mu _{2}=k\,$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_3=2\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+3)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}=(k+1){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1$$\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_4=k(k+2)$$\mu _{4}=k(k+2)\,$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_5=4\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+5)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}=(k+1)(k+3){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1$$\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_6=k(k+2)(k+4)$$\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,$ 

где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+1)=x\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)$$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,$ 

Также из этих выражений можно получить следующие формулы:

Среднее: $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}$$\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$ 

Дисперсия: ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2$$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$  — из выражений для первых двух моментов.

Коэффициент асимметрии: ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^3}(1-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$ 

Коэффициент эксцесса: ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2=\frac{2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$ 

ЭнтропияПравить

Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:

$S=\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2))+\frac{1}{2}(k-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(2)-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0(k/2))$$S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))$ 

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0(z)$$\psi ^{0}(z)$  — полигамма-функция.

Связь с другими распределениямиПравить

• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k$$X\sim \chi _{k}$ , тогда $X^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k^2$$X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$  (хи-квадрат-распределение)
• $\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_k}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,$  (нормальное распределение)
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->N(0,1)$$X\sim N(0,1)\,$ , то $|X|\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1$$|X|\sim \chi _{1}\,$ 
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1$$X\sim \chi _{1}\,$ , то $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}X\sim <!--\; \sim \; -->HN(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$\sigma X\sim HN(\sigma )\,$  (полунормальное распределение) для любых $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0$$\sigma >0\,$ 
• ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$  (распределение Рэлея)
• ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_3\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}(1)$$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$  (распределение Максвелла)
• $\Vert <!--\; \Vert \; -->{\mathit{N}}_{i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,k}(0,1){\Vert <!--\; \Vert \; -->}_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k$$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$  (вторая норма от $k$$k$  стандартных нормальных случайных величин — хи-распределение с $k$$k$  степенями свободы)
• Хи-распределение — специальный случай гамма-распределения, распределение Накагами и нецентрального хи-распределения.

Виды распределений хи и хи-квадрат

Название	Статистика
хи-квадрат распределение	$\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2$$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
нецентральное хи-квадрат распределение	$\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2$$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
хи-распределение	$\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2}$${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
нецентральное хи-распределение	$\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2}$${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

См. такжеПравить

• Распределение Накагами

ЛитератураПравить

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

СсылкиПравить

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html