Гипергеометрическая функция

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга $|z|<1$ как сумма гипергеометрического ряда

$F(a,b;c;z)=1+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[\underset{l=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{(a+l)(b+l)}{(1+l)(c+l)}\right]z^k=1+\frac{ab}{c}\frac{z}{1!}+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots <!--\; \dots \; -->,$$F(a,b;c;z)=1+\sum _{{k=1}}^{\infty }\left[\prod _{{l=0}}^{{k-1}}{(a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\right]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots ,$

а при $|z|>1$$|z|>1$ — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, называемого гипергеометрическим уравнением.

ИсторияПравить

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид

$\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->(2n+1)}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->2n}.$${\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}}.$ 

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнениеПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера $z(1-<!--\; -\; -->z)\frac{d^{2}u}{d{z}^2}+[c-<!--\; -\; -->(a+b+1)z]\frac{du}{dz}-<!--\; -\; -->abu=0,$$z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu=0,$  где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ .

Когда параметр $c$$c$  не равен нулю и отрицательным целым числам $(c\ne <!--\; \ne \; -->0,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(c\neq 0,-1,-2,\ldots )$  регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv <!--\; \equiv \; -->F(a,b;c;z)=1+\frac{ab}{c}\frac{z}{1!}+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots <!--\; \dots \; -->.$$_{2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots .$ 

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

$(p{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(p+n)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(p)},$$(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p)}},$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

$F(a,b;c;z)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(a{)}_n(b{)}_n{z}^n}{(c{)}_{n}n!}.$$F(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}n!}}.$ 

Обозначение ${}_2{F}_1(a,b;c;z)$$_{2}F_{1}(a,b;c;z)$  указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе $|z|=1$$|z|=1$  ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы $a+b-c<0$ , условно сходится при $z\ne <!--\; \ne \; -->1$$z\neq 1$ , $0\leq a+b-c<1$  и расходится, если $a+b-<!--\; -\; -->c\ge <!--\; \ge \; -->1$$a+b-c\geq 1$ . Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

$z^{1-<!--\; -\; -->c}F(b-<!--\; -\; -->c+1,a-<!--\; -\; -->c+1;2-<!--\; -\; -->c;z)$$\ z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)$ 

Оно имеет особую точку при $z=0$$z=0$  и справедливо при всех неположительных $c$$c$  $(c=0,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(c=0,-1,-2,\ldots )$ .

Интегральное представление для гипергеометрической функции при $\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0$${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$  (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

$F(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(c)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(b)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(c-<!--\; -\; -->b)}\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{t}^{b-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->t{)}^{c-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->tz{)}^{-<!--\; -\; -->a}dt,$$F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (c-b)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{b-1}}(1-t)^{{c-b-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)$$\Gamma (x)$  — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной $z$$z$ -плоскости с разрезом вдоль действительной оси от $1$$1$  до $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$  и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при $\left|z\right|<1$ .

Частные значения при $z=1/2$$z=1/2$Править

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

${}_2{F}_1\left(a,b;\frac{1}{2}\left(1+a+b\right);\frac{1}{2}\right)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(1+a+b\right))}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(1+a)\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(1+b\right))}.$$_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+b\right))}}.$ 

Теорема Бейли выражается формулой:

${}_2{F}_1\left(a,1-<!--\; -\; -->a;c;\frac{1}{2}\right)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}c)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(1+c\right))}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(c+a\right))\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{1}{2}\left(1+c-<!--\; -\; -->a\right))}.$$_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+c-a\right))}}.$ 

Запись других функций через гипергеометрическуюПравить

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

ПримерыПравить

• ${\left(1+x\right)}^n=F(-<!--\; -\; -->n,b;b;-<!--\; -\; -->x)$$\left(1+x\right)^{n}=F(-n,b;b;-x)$ 
• $x^n=F\left(-<!--\; -\; -->n,b;b;1-<!--\; -\; -->x\right)$$x^{n}=F\left(-n,b;b;1-x\right)$ 
• $\frac{1}{x}\ln <!--\; \; -->(1+x)=F(1,1;2;-<!--\; -\; -->x)$${1 \over x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$ 

$\frac{1}{x}\arcsin <!--\; \; -->(x)=F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2\right)$${1 \over x}\arcsin(x)=F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};x^{2}\right)$ 

• $e^x=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F\left(1,n;1;\frac{x}{n}\right)$$e^{x}=\lim _{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$ 
• $\cos <!--\; \; -->x=\underset{a,b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F\left(a,b;\frac{1}{2};-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{4ab}\right)$$\cos x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)$ 
• $\cosh <!--\; \; -->x=\underset{a,b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F\left(a,b;\frac{1}{2};\frac{x^2}{4ab}\right)$$\cosh x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\right)$ 
• Полный эллиптический интеграл первого рода:

  $K(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right)$$K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$ 

• Полный эллиптический интеграл второго рода:

  $E(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}F\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right)$$E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$ 

• Полином Лежандра:

  $P_n(x)=F(n+1,-<!--\; -\; -->n;1;\frac{1-<!--\; -\; -->x}{2})$$P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac {1-x}{2}})$ 

• Присоединённая функция Лежандра:

  $P_{n,m}(x)=(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{\frac{m}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+m+1)}{2^m\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n-<!--\; -\; -->m+1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(m+1)}F\left(n+m+1,m-<!--\; -\; -->n;m+1;\frac{1-<!--\; -\; -->x}{2}\right)$$P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{{{\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,m-n;m+1;{\frac {1-x}{2}}\right)$ 

• Функции Бесселя:

  $J_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)=\underset{a,b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left[\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1)}F\left(a,b;\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1;-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{4ab}\right)\right]$$J_{\nu }(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$ 

• Функция Куммера (Похгаммера), или вырожденная гипергеометрическая функция  (англ.) (рус.

  $M(a,c,z)={}_1{F}_1(a,c,z)=\underset{b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}F(a,b;c;z/b)$$M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/b)$ 

  является решением вырожденного гипергеометрического уравнения

  $z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(c-<!--\; -\; -->z)\frac{dw}{dz}-<!--\; -\; -->aw=0.$$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(c-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$ 

• Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:

  $L_n^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x)={}_1{F}_1(-<!--\; -\; -->n,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},x).$$L_{n}^{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda ,x).$ 

ТождестваПравить

• $27(z-<!--\; -\; -->1{)}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{}_2{F}_1{\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z\right)}^8+18(z-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->{}_2{F}_1{\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z\right)}^4-<!--\; -\; -->8\cdot <!--\; \cdot \; -->{}_2{F}_1{\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z\right)}^2=1$$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{2}=1$ 
• И замечательный частный случай предыдущего выражения:

  ${}_2{F}_1\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\frac{4}{\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt[3]{4}}}+\sqrt[3]{4}+4}-<!--\; -\; -->\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt[3]{4}}-<!--\; -\; -->2}}$$_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}$ 

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
• Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.