Распределение Накагами

Распределе́ние Накага́ми или m-распределение Накагами — двупараметрическое одномерное распределение вероятности, связанное с гамма-распределением вероятностей.

Распределение Накагами
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>=0.5$$\mu >=0.5$ real) $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}>0$$\omega >0$ (real)
Носитель	$x>0$$x>0$
Плотность вероятности	$\frac{2{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}){\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{x}^{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->1}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{x}^2\right)$${\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{{2\mu -1}}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)$
Функция распределения	$\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\left(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{x}^2\right)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$${\frac {\gamma \left(\mu ,{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (\mu )}}$
Математическое ожидание	$\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}{\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right)}^{1/2}$${\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\left({\frac {\omega }{\mu }}\right)^{{1/2}}$
Медиана	нет приблизительно точной формы
Мода	$\frac{\sqrt{2}}{2}{\left(\frac{(2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right)}^{1/2}$${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}\left({\frac {(2\mu -1)\omega }{\mu }}\right)^{{1/2}}$
Дисперсия	$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}\right)}^2\right)$$\omega \left(1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {\Gamma (\mu +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\mu )}}\right)^{2}\right)$

Предложена для исследования случайных процессов в линиях связи М. Накагами в 1960 г.

ОпределениеПравить

Распределение зависит от двух параметров $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}>0$$\omega >0$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->1/2$$\mu \geq 1/2$  и определено для всех $x\ge <!--\; \ge \; -->0$$x\geq 0$ . Функция плотности вероятности распределения:

$f(x;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{2{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}){\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{x}^{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->1}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{x}^2\right),$$f(x;\,\mu ,\omega )={\frac {2\mu ^{\mu }}{\Gamma (\mu )\omega ^{\mu }}}x^{2\mu -1}\exp \left(-{\frac {\mu }{\omega }}x^{2}\right),$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$\Gamma (\mu )$  — гамма-функция.

Оценка параметровПравить

Параметры $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  оцениваются следующим образом:

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{{\mathrm{E}}^2<!--\; \; -->\left[X^2\right]}{\mathrm{Var}<!--\; \; -->\left[X^2\right]},$$\mu ={\frac {\operatorname {E}^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var}\left[X^{2}\right]}},$ 

и

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{E}<!--\; \; -->\left[X^2\right].$$\omega =\operatorname {E}\left[X^{2}\right].$ 

История и применениеПравить

Распределение Накагами является относительно новым. Оно было предложено в 1960 году. Используется для моделирования замираний сигналов в беспроводных каналах связи при распространении сигнала по нескольким различным путям.

Связь с другими распределениямиПравить

• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.