Распределение Рэлея

Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины $X$$\displaystyle X$ с плотностью

Распределение Рэлея
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0$$\sigma >0$
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->[0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$x\in [0;\infty )$
Плотность вероятности	$\frac{x}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right)$${\frac {x}{{{\sigma }^{{2}}}}}\exp \left(-{\frac {{{x}^{{2}}}}{2{{\sigma }^{{2}}}}}\right)$
Функция распределения	$1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left(\frac{-<!--\; -\; -->x^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right)$$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Математическое ожидание	$\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$${\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\sigma$
Медиана	$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{\ln <!--\; \; -->(4)}$$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}$
Мода	$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$
Дисперсия	$\left(2-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2\right){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2}}}$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->3)}{(4-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}}$${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2}}}}$
Коэффициент эксцесса	$-<!--\; -\; -->\frac{6{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2-<!--\; -\; -->24\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+16}{(4-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}$$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Дифференциальная энтропия	$1+\ln <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}$$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
Производящая функция моментов	$1+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}t{e}^{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\left(\text{erf}\left(\frac{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}t}{\sqrt{2}}\right)+1\right)$$1+\sigma t\,e^{{\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!+\!1\right)$
Характеристическая функция	$1-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}t{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\left(\text{erfi}\left(\frac{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}t}{\sqrt{2}}\right)-<!--\; -\; -->i\right)$$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$

$f(x;\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})=\frac{x}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right),x⩾<!--\; ⩾\; -->0,\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0,$$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,$

где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\displaystyle \sigma$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

$\mathsf{P}(X⩽<!--\; ⩽\; -->x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right),x⩾<!--\; ⩾\; -->0.$${\mathsf P}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.$

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

ПрименениеПравить

• В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как $X$$X$  и $Y$$Y$ , получим выражение для величины промаха в виде $R=\sqrt{X^2+Y^2}$$R={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$ . В этом случае величина $R$$R$  имеет распределение Рэлея.
• В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Связь с другими распределениямиПравить

• Если $X$${X}$  и $Y$${Y}$  — независимые гауссовские случайные величины имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$${{\sigma }^{{2}}}$ , то случайная величина $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$$Z={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$  имеет распределение Рэлея.
• Если независимые гауссовские случайные величины $X$${X}$  и $Y$${Y}$  имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
• Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=1$${\sigma =1}$  имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
• Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.

См. такжеПравить

• Закон Рэлея — Джинса
• Распределение Райса
• Нормальное распределение

ЛитератураПравить

• Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. — М.: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.