Распределение хи-квадрат

Распределе́ние ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$ (хи-квадра́т) с $k$$k$ степеня́ми свобо́ды — распределение суммы квадратов $k$$k$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$. Распределение Пирсона
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$\chi ^{2}(k)$ или ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k^2$$\chi _{k}^{2}$
Параметры	$k>0$$k>0$ — число степеней свободы
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$x\in [0;+\infty )$
Плотность вероятности	$\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}{x}^{k/2-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->x/2}$${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}$
Функция распределения	$\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}$${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Математическое ожидание	$k$$k$
Медиана	примерно $k-<!--\; -\; -->2/3$$k-2/3$
Мода	0 для $k<2,$ $k-<!--\; -\; -->2,$$k-2,$ если $k\ge <!--\; \ge \; -->2$$k\geq 2$
Дисперсия	$2k$$2\,k$
Коэффициент асимметрии	$\sqrt{8/k}$${\sqrt {8/k}}$
Коэффициент эксцесса	$12/k$$12/k$
Дифференциальная энтропия	$\frac{k}{2}+\ln <!--\; \; -->\left[2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{k}{2}\right)\right]+\left(1-<!--\; -\; -->\frac{k}{2}\right)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\left(\frac{k}{2}\right)$${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$ $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(x)/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x).$$\psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).$
Производящая функция моментов	$(1-<!--\; -\; -->2t{)}^{-<!--\; -\; -->k/2}$$(1-2\,t)^{-k/2}$, если $2\,t<1$
Характеристическая функция	$(1-<!--\; -\; -->2it{)}^{-<!--\; -\; -->k/2}$$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$

ОпределениеПравить

Пусть $z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,z_k$$z_{1},\ldots ,z_{k}$  — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: $z_i\sim <!--\; \sim \; -->N(0,1)$$z_{i}\sim N(0,1)$ . Тогда случайная величина

$x=z_1^2+\dots <!--\; \dots \; -->+z_k^2$$x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}$ 

имеет распределение хи-квадрат с $k$$k$  степенями свободы, то есть $x\sim <!--\; \sim \; -->f_{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)}(x)$$x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)$ , или, если записать по-другому:

$x=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{z}_i^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)$ .

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

$f_{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)}(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{k}{2},2\right)=\frac{(1/2{)}^{\frac{k}{2}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{k}{2}\right)}{x}^{\frac{k}{2}-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{x}{2}}$$f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}$ ,

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(k/2,2\right)$$\Gamma \!\left({k/2},2\right)$  означает гамма-распределение, а $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(k/2\right)$$\Gamma \!\left({k/2}\right)$  — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

$F_{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)}(x)=\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\left(\frac{k}{2},\frac{x}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{k}{2}\right)}$$F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \over 2}\right)}}$ ,

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадратПравить

• Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если $Y_1,Y_2$$Y_{1},Y_{2}$  независимы, и $Y_1\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_1)$$Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ , а $Y_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_2)$$Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ , то $Y_1+Y_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_1+k_2)$$Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$ .

• Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если $Y\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$Y\sim \chi ^{2}(k)$ , то

$\mathbb{E}[Y]=k$$\mathbb {E} [Y]=k$ ,

$\mathrm{D}[Y]=2k$$\mathrm {D} [Y]=2k$ .

• В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины $Y\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$Y\sim \chi ^{2}(k)$  может быть приближено нормальным $Y\approx <!--\; \approx \; -->N(k,2k)$$Y\approx N(k,2k)$ . Более точно

$\frac{Y-<!--\; -\; -->k}{\sqrt{2k}}\to <!--\; \to \; -->N(0,1)$${\frac {Y-k}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)$  по распределению при $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k\to \infty$ .

Связь с другими распределениямиПравить

• Если $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_k$$X_{1},\ldots ,X_{k}$  независимые нормальные случайные величины, то есть: $X_i\sim <!--\; \sim \; -->N(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2),i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,k;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu$  известно, то случайная величина

$Y=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\right)}^2$$Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$ 

имеет распределение ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$\chi ^{2}(k)$ .

• Если $k=2$$k=2$ , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/2)$$\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)$ .

• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2k)$$X\sim \chi ^{2}(2k)$ , тогда $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{Erlang}<!--\; \; -->(k,1/2)$$X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)$  — распределение Эрланга.
• Если $Y_1\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_1)$$Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$  и $Y_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_2)$$Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ , то случайная величина

$F=\frac{Y_1/k_1}{Y_2/k_2}$$F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}$ 

имеет распределение Фишера со степенями свободы $(k_1,k_2)$$(k_{1},k_{2})$ .

• ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k^2\sim <!--\; \sim \; -->{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{\prime }}_k^2(0)$$\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$  (нецентральное хи-квадрат распределение с параметром нецентральности $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0$$\lambda =0$ )
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$$X\sim \chi ^{2}(\nu )\,$  и $c>0$$c>0\,$ , тогда $cX\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}/2,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=2c)$$cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$ . (гамма-распределение)
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k^2$$X\sim \chi _{k}^{2}$ , тогда $\sqrt{X}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_k$${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$  (хи распределение)
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{Rayleigh}<!--\; \; -->(1)$$X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$  (распределение Рэлея), тогда $X^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2)$$X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,$ 
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{Maxwell}<!--\; \; -->(1)$$X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$  (распределение Максвелла), тогда $X^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(3)$$X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,$ 
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2({\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1)$$X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,$  и $Y\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2({\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2)$$Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,$  независимы, тогда $\frac{X}{X+Y}\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{Beta}<!--\; \; -->(\frac{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1}{2},\frac{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2}{2})$${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,$  — (бета-распределение)
• Если $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{U}<!--\; \; -->(0,1)$$X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$  — (равномерное распределение), тогда $-<!--\; -\; -->2\log <!--\; \; -->(X)\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2)$$-2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,$ 
• ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(6)$$\chi ^{2}(6)\,$  — преобразование распределения Лапласа
• Если $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{Laplace}<!--\; \; -->(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,$ , тогда $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{2|X_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}|}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2n)$$\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,$ 
• хи-квадрат распределение — преобразование распределения Парето
• t-распределение — преобразование распределения хи-квадрат
• t-распределение может быть пролучено из распределения хи-квадрат и нормального распределения
• Если $X_1\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_1)$$X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$  и $X_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_2)$$X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$  — независимы, тогда $X_1+X_2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k_1+k_2)$$X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$ . Если $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$  не являются независимыми, тогда $X_1+X_2$$X_{1}+X_{2}$  не распределено по закону хи-квадрат.

Вариации и обобщениеПравить

Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое нецентральное распределение хи-квадрат^[en], возникающее в некоторых задачах статистики.

КвантилиПравить

Основная статья: Квантили распределения хи-квадрат

Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения.

ИсторияПравить

Критерий ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$  был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году. Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10²⁹.

Общее обсуждение критерия ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$  и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.

ПриложенияПравить

Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения при статистических выводах, например при использовании критерия хи-квадрат и при оценке дисперсий. Оно используется в проблеме оценивания среднего нормально распределённой популяции и проблеме оценивания наклона линии регрессии благодаря его роли в распределении Стьюдента. Оно используется в дисперсионном анализе.

Далее приведены примеры ситуаций, в которых распределение хи-квадрат возникает из нормальной выборки:

• если $X_1,...,X_n$$X_{1},...,X_{n}$  — независимые и одинаково распределенные по закону $N(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$N(\mu ,\sigma ^{2})$  случайные величины, тогда $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(X_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}^2$$\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}$ , где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i.$${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$ 
• В таблице показаны некоторые статистики, основанные на $X_i\sim <!--\; \sim \; -->N({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2),i=1,...,k$$X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k$  независимых случайных величин, распределения которых связаны с распределением хи-квадрат:

Название	Статистика
распределение хи-квадрат	$\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2$$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
нецентральное распределение хи-квадрат	$\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2$$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
распределение хи	$\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2}$${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
нецентральное распределение хи	$\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{X_i}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}\right)}^2}$${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Таблица значений χ² и p-значенийПравить

Для любого числа p между 0 и 1 определено p-значение — вероятность получить для данной вероятностной модели распределения значений случайной величины такое же или более экстремальное значение статистики (среднего арифметического, медианы и др.), по сравнению с наблюдаемым, при условии верности нулевой гипотезы. В данном случае это распределение ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$ . Так как значение функции распределения в точке для соответствующих степеней свободы дает вероятность получить значение статистики менее экстремальное, чем эта точка, p-значение можно получить, если отнять от единицы значение функции распределения. Малое p-значение — ниже выбранного уровня значимости — означает статистическую значимость. Этого будет достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Чтобы различать значимые и незначимые результаты, обычно используют уровень 0,05.

В таблице даны p-значения для соответствующих значений ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$  у первых десяти степеней свободы.

Степени свободы (df)	Значение ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	9,21	13,82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	15,09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	20,09	26,12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	23,21	29,59
p-значение	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Эти значения могут быть вычислены через квантиль (обратную функцию распределения) распределения хи-квадрат. Например, квантиль ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$  для p = 0,05 и df = 7 дает ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$ =14,06714 ≈ 14,07, как в таблице сверху. Это означает, что для экспериментального наблюдения семи независимых случайных величин $x_1,...,x_7$$x_{1},...,x_{7}$  при справедливости нулевой гипотезы «каждая величина описывается нормальным стандартным распределением с медианой 0 и стандартным отклонением 1» значение $x_1^2+...+x_7^2>14,07$$x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07$  можно получить лишь в 5 % реализаций. Получение большего значения обычно можно считать достаточным основанием для отбрасывания этой нулевой гипотезы.

В таблице дано округление до сотых; более точные таблицы для большего количества степеней свободы см., например, здесь.

См. такжеПравить

• Критерий согласия Пирсона (критерий ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$ )