Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Бета-распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\text{Beta}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
Параметры	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\alpha >0$ $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>0$$\beta >0$
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$x\in [0,1]$
Плотность вероятности	$\frac{x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->1}}{\mathrm{B}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}$${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$
Функция распределения	$I_x(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Математическое ожидание	$\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Мода	$\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->2}$${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>1$$\alpha >1,\beta >1$
Дисперсия	$\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)}$${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\sqrt{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1}}{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2)\sqrt{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Коэффициент эксцесса	$6\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->1)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2)}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+3)}$$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
Производящая функция моментов	$1+\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\underset{r=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+r}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+r}\right)\frac{t^k}{k!}$$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Характеристическая функция	${}_1{F}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->};it)$${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

ОпределениеПравить

Пусть распределение случайной величины $X$$X$  задаётся плотностью вероятности $f_X$$f_{X}$ , имеющей вид:

$f_X(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->1}$$f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}$ ,

где

• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>0$$\alpha ,\beta >0$  произвольные фиксированные параметры, и
• $\mathrm{B}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->1}dx$$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$  — бета-функция.

Тогда случайная величина $X$$X$  имеет бета-распределение. Пишут: $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Форма графикаПравить

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ .

• $\alpha <1,\ \beta <1$  — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• $\alpha <1,\ \beta \geq 1$  или $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>1$$\alpha =1,\ \beta >1$  — график строго убывающий (синяя кривая)
  • $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>2$$\alpha =1,\ \beta >2$  — график строго выпуклый;
  • $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2$$\alpha =1,\ \beta =2$  — график является прямой линией;
  • $\alpha =1,\ 1<\beta <2$  — график строго вогнутый;
• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\alpha =1,\ \beta =1$  график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• $\alpha =1,\ \beta <1$  или $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\le <!--\; \le \; -->1$$\alpha >1,\ \beta \leq 1$  — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>2,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\alpha >2,\ \beta =1$  — график строго выпуклый;
  • $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\alpha =2,\ \beta =1$  — график является прямой линией;
  • $1<\alpha <2,\ \beta =1$  — график строго вогнутый;
• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>1$$\alpha >1,\ \beta >1$  — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha =\beta$ , плотность вероятности симметрична относительно $1/2$$1/2$  (красная и пурпурная кривые), то есть

$f_X(1/2-<!--\; -\; -->x)=f_X(1/2+x),x\in <!--\; \in \; -->[0,1/2]$$f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]$ .

МоментыПравить

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$$X$ , имеющей бета-распределение, имеют вид:

$\mathbb{E}[X]=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ ,

$\mathrm{D}[X]=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)}$$\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ .

Связь с другими распределениямиПравить

• Бета-распределение является распределением Пирсона типа I.
• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

  $\mathrm{U}[0,1]\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{B}(1,1)$$\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .

• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если $X,Y$$X,Y$  — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},1)$$X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$ , а $Y\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},1)$$Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$ , то

  $\frac{X}{X+Y}\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$  .

ЛитератураПравить

• Королюк В.С., Портенко Н.И.,Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.