Кардинальный синус

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как

   $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

2. В математике ненормированная функция sinc определяется как

   $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −7π ≤ x ≤ 7π.

Нормировка функции выполняется из условия:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->ax}{ax}dx=1$$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1$

откуда $a=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$a=\pi .$

для ненормированной функции ($a=1$$a=1$):

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .$

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

СвойстваПравить

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

• $\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(0\right)=1$$\operatorname{sinc}\left(0\right) = 1$  и $\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(k\right)=0$$\operatorname{sinc}\left(k\right) = 0$  для всех $k\ne <!--\; \ne \; -->0$$k\neq 0$  и $k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$k\in\mathbb{Z}$  (целые числа); то есть это интерполянт.

• функции $x_k\left(t\right)=\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(t-<!--\; -\; -->k\right)$$x_k\left(t\right)=\operatorname{sinc}\left(t-k\right)$  формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве $L^2\left(\mathbb{R}\right)$$L^2\left(\R\right)$ , с наибольшей круговой частотой ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_H=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\omega_H = \pi$ .

• Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная $\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}$$\frac{\sin x}{x}$  равна нулю (локальный экстремум в точке $x=a$$x=a$ ), выполняется условие $\frac{\sin <!--\; \; -->a}{a}=\cos <!--\; \; -->a$$\frac{\sin a}{a} = \cos a$ .

• Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

• Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).

• Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции $\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(x\right)=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}$$\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$  (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции $\mathrm{rect}<!--\; \; -->\left(f\right)$$\operatorname{rect}\left(f\right)$ .

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ift}dt=\mathrm{rect}<!--\; \; -->\left(f\right)$$\int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi i f t}dt = \operatorname{rect}\left(f\right)$ ,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение в бесконечное произведение:

$\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(x\right)=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{n^2}\right)$$\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2} \right)$ 

• Выражение через гамма-функцию:

$\mathrm{sinc}<!--\; \; -->(x)=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1+x\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->x\right)}$$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\right)}$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(x\right)$$\Gamma\left(x\right)$  — гамма-функция.

Использование и приложенияПравить

• Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
• Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
• В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
• Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
• Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
• Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
• Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналовПравить

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. такжеПравить

• Сглаживание
• sinc-фильтр
• Атомарная функция
• Интегральный синус