Sinc-фильтр

Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — функцию sinc. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временно́й области, так и в частотной).

Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов — в частности, при доказательстве теоремы Котельникова и формулы Уиттакера — Шеннона.

ХарактеристикиПравить

Временны́еПравить

 

Нормированная импульсная характеристика. Для наглядности приведена часть бесконечной функции

 

Нормированная частотная характеристика

Пусть $f_0$$f_0$  — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:

$h(t)={\mathcal{F}}^{-<!--\; -\; -->1}\left\{H\left(f\right)\right\}\left(t\right)=2f_0\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{0}t\right)}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{0}t}=2f_0\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(2f_{0}t\right)$$h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{H\left(f\right)\right\}\left(t\right)=2f_{0}\cdot {\frac {\sin \left(2\pi f_{0}t\right)}{2\pi f_{0}t}}=2f_{0}\cdot \operatorname {sinc} \left(2f_{0}t\right)$ ,

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$$\mathrm {sinc}$  — нормированная функция sinc.

ЧастотныеПравить

Частотная характеристика фильтра:

$H\left(f\right)=\mathrm{rect}<!--\; \; -->\left(\frac{f}{2f_0}\right)$$H\left(f\right)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2f_{0}}}\right)$ ,

где $\mathrm{rect}$$\operatorname {rect}$  — прямоугольная функция.

Пусть $x\left(t\right)$$x\left(t\right)$  — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье $\mathcal{F}\{x\}=X(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$${\mathcal {F}}\{x\}=X(\omega )$ . Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику $h\left(t\right)$$h\left(t\right)$ , воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:

${\mathcal {F}}\left\{h*x\right\}=\left\{{\begin{matrix}X\left(\omega \right)&\left|\omega \right|\leq 2\pi f_{0}\\0&\left|\omega \right|>2\pi f_{0}\end{matrix}}\right.$ ,

где $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  — оператор свёртки.

См. такжеПравить

• Алиасинг
• Сглаживание (антиалиасинг)
• Фильтр нижних частот

ЛитератураПравить

• Mark Owen. Practical Signal Processing. — Cambridge University Press, 2007. — P. 80-81. — 336 p. — ISBN 978-0-521-85478-8.