Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)$$\Lambda (n)$, равная $\ln <!--\; \; -->p$$\ln p$, если $n=p^m$$n=p^{m}$ — степень простого числа, в противном случае $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)=0$$\Lambda (n)=0$. Кратко:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases}}$

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

СвойстваПравить

• Из определения следует, что

$\underset{d\mid <!--\; \mid \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(d)=\ln <!--\; \; -->n$$\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n$ 

• С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)=\underset{d\mid <!--\; \mid \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(d)\ln <!--\; \; -->\frac{n}{d}=-<!--\; -\; -->\underset{d\mid <!--\; \mid \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(d)\ln <!--\; \; -->d$$\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d$ 

Связь с распределением простых чиселПравить

• Связь с дзета-функцией Римана :$\ln <!--\; \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)=\underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n^s\ln <!--\; \; -->n},\mathrm{Re}<!--\; \; -->s>1$$\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$ 
• $-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^{\prime }(s)}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n^s},\mathrm{Re}<!--\; \; -->s>1$$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$ 
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

$\ln <!--\; \; -->L(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(n)\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n^s\ln <!--\; \; -->n},\mathrm{Re}<!--\; \; -->s>1$$\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$ 

$-<!--\; -\; -->\frac{L^{\prime }(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})}{L(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(n)\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n^s},\mathrm{Re}<!--\; \; -->s>1$$-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$ 

• $\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n}\sim <!--\; \sim \; -->\ln <!--\; \; -->x$$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x$ 
• $\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)}{n\ln <!--\; \; -->n}=\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->x+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+O(e^{-<!--\; -\; -->c\sqrt{\ln <!--\; \; -->x}}),$$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),$  где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)$$\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)$ 

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

$\frac{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^{\prime }(s)}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)}=-<!--\; -\; -->s\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}{x^{1+s}}dx,\mathrm{Re}<!--\; \; -->s>1$${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1$ 

ЛитератураПравить

• Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.