Функции Чебышёва

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)$$\theta (x)$ и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$, связанные с распределением простых чисел и определённые как

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)=\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\ln <!--\; \; -->p$$\theta (x)=\sum \limits _{{p\leqslant x}}\ln p$

и

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\underset{m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{p^m⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\ln <!--\; \; -->p,$$\psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,$

где $p$$p$ — простые числа, $m$$m$ — натуральные числа.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

СвойстваПравить

• Определение пси-функции Чебышёва может записано через функцию Мангольдта: $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(n)$$\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)$ .
• Функции Чебышёва связаны соотношением $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\sqrt{x})+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\sqrt[3]{x})+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\sqrt[n]{x})$$\psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x}})+\theta ({\sqrt[{3}]{x}})+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x}})$  (где только первые несколько слагаемых не равны нулю), откуда следует асимптотическое соотношение $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)+O(\sqrt{x})$$\psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x}})$ .
• Потенцирование даёт: $e^{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}=\mathrm{lcm}<!--\; \; -->(1,2,...,[x])$$e^{{\psi (x)}}=\operatorname {lcm}(1,2,...,[x])$ , $e^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)}=\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\prod <!--\; \prod \; -->}p$$e^{{\theta (x)}}=\prod \limits _{{p\leqslant x}}p$ .

Связь с распределением простых чиселПравить

• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)\ln <!--\; \; -->x$$\psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x$ .
• Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=x-<!--\; -\; -->\underset{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{x^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->x^{-<!--\; -\; -->2}),$$\psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{{\rho }}}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{{-2}}),$ 

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

• Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=x+O(e^{-<!--\; -\; -->c\sqrt{\ln <!--\; \; -->x}})$$\psi (x)=x+O(e^{{-c{\sqrt {\ln x}}}})$ 

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=x+O(\sqrt{x}{\ln }^2<!--\; \; -->x)$$\psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}x)$ 

См. такжеПравить

• Постулат Бертрана

ЛитератураПравить

• Прахар, К. Распределение простых чисел = Primzahl Verteilung / пер. с нем. А. А. Карацупы. — М. : Мир, 1967. — 511 с.