Функция Эйри

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

$y^{″}-<!--\; -\; -->xy=0,$$y''-xy\,=\,0\,,$

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри). Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода $\mathrm{Ai}(x)$$\operatorname {Ai}\,(x)$ (которая при $x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow -\infty$ имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow +\infty$ монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода $\mathrm{Bi}(x)$$\operatorname {Bi}\,(x)$ (которая при $x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow -\infty$ также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow +\infty$ монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy). В 1946 году Джеффри Миллер^[en] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.

В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение Править

Для действительных $x$$x$  функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:

$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\cos <!--\; \; -->\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt,$$\operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\,,$ 

 

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

$y^{″}-<!--\; -\; -->xy=0.$$y''-xy\,=\,0\,.$ 

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода $\mathrm{Bi}(x),$$\operatorname {Bi} \,(x),$  у которой при $x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow -\infty$  колебания имеют ту же амплитуду, что и у $\mathrm{Ai}(x),$$\operatorname {Ai} \,(x),$  но отличаются по фазе на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\pi/2$ . Для действительных $x$$x$  функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:

$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left[\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{t^3}{3}+xt\right)+\sin <!--\; \; -->\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)\right]dt.$$\operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\,dt\,.$ 

Для комплексных $z$$z$  функция Эйри $\mathrm{Ai}(z)$$\operatorname {Ai} \,(z)$  определяется следующим образом:

$\mathrm{Ai}(z)=\underset{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1}{\int <!--\; \int \; -->}\exp <!--\; \; -->\left(pz-<!--\; -\; -->\frac{p^3}{3}\right)dp,$$\operatorname {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp\,,$ 

где контур ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1$$\gamma _{1}$  представлен на рисунке. Контуры ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2$$\gamma _{2}$  и ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_3$$\gamma _{3}$  также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция $\mathrm{Bi}(z)$$\operatorname {Bi} \,(z)$  при произвольном комплексном $z$$z$  связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением:

$\mathrm{Bi}(z)=i{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\mathrm{Ai}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}z)-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{Ai}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}z),\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i/3}.$$\operatorname {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatorname {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\operatorname {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.$ 

Свойства Править

В точке $x=0$$x=0$  функции $\mathrm{Ai}(x)$$\operatorname {Ai}\,(x)$  и $\mathrm{Bi}(x)$$\operatorname {Bi}\,(x)$  и их первые производные имеют такие значения:

${\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,\approx \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operatorname {Ai} '\,(0)\,=\,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,\approx \,-0,258\,819\,403\,792\,807\,,\\\operatorname {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatorname {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatorname {Bi} '\,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,=\,-\operatorname {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — гамма-функция. Отсюда следует, что при $x=0$$x=0$  вронскиан функций $\mathrm{Ai}(x)$$\operatorname {Ai}\,(x)$  и $\mathrm{Bi}(x)$$\operatorname {Bi}\,(x)$  равен $1/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$1/\pi$ .

При положительных $x$$x$  $\mathrm{Ai}(x)$$\operatorname {Ai}\,(x)$  — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а $\mathrm{Bi}(x)$$\operatorname {Bi}\,(x)$  — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных $x$$x$  $\mathrm{Ai}(x)$$\operatorname {Ai}\,(x)$  и $\mathrm{Bi}(x)$$\operatorname {Bi}\,(x)$  колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения Править

При $x,$$x,$  стремящемся к $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ :

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$ 

Комплексный аргумент Править

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\exp <!--\; \; -->\left(\frac{t^3}{3}-<!--\; -\; -->zt\right)dt,$$\mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,$ 

где интеграл берётся по контуру $C,$$C,$  начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом $-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$$-{\dfrac {\pi }{3}}$  и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\dfrac {\pi }{3}}$ . Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение $y^{″}-<!--\; -\; -->xy=0$$y''-xy=0$  для продолжения $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Ai} \,(x)$  и $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Bi} \,(x)$  до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Ai} \,(x)$  остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение $x^{2/3}$$x^{2/3}$  и $x$$x$  не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Bi} \,(x)$  верна, если x лежит в секторе $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\}$  для некоторого положительного $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ . Формулы для $\mathrm{A}\mathrm{i}(-<!--\; -\; -->x)$$\mathrm {Ai} \,(-x)$  и $\mathrm{B}\mathrm{i}(-<!--\; -\; -->x)$$\mathrm {Bi} \,(-x)$  верны, если x лежит в секторе $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}}\right\}$ .

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Ai} \,(x)$  на комплексной плоскости нет других нулей, а функция $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {Bi} \,(x)$  имеет бесконечно много нулей в секторе $\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\pi }{2}}\right\}$ .

Связь с другими специальными функциями Править

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

$\begin{array}{r}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{1}{3}x}{K}_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\sqrt{\frac{1}{3}x}\left(I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+I_{-<!--\; -\; -->1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)\right).\end{array}$${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}$ 

где I_±1/3 и K_1/3 — решения уравнения $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }-<!--\; -\; -->(x^2+1/9)y=0$$x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$ .

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

$\begin{array}{r}\mathrm{A}\mathrm{i}(-<!--\; -\; -->x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}\left(J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+J_{-<!--\; -\; -->1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)\right),\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-<!--\; -\; -->x)=\sqrt{\frac{1}{3}x}\left(J_{-<!--\; -\; -->1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)-<!--\; -\; -->J_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)\right).\end{array}$${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}$ 

где J_±1/3 — решения уравнения $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-<!--\; -\; -->1/9)y=0$$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$ .

Функции Скорера являются решениями уравнения $y^{″}-<!--\; -\; -->xy=1/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$y''-xy=1/\pi .$  Они также могут быть выражены через функции Эйри:

$\begin{array}{r}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-<!--\; -\; -->\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$${\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Hi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}$ 

См. также Править

• Луч Эйри

Литература Править

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — (Теоретическая физика, т. III).
• Попов Б. А., Теслер Г. С. . Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наукова думка, 1984. — 599 с.
• Airy G. B. . On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic // Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1838, 6. — P. 379—402.
• Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Ed. by M. Abramowitz and I. A. Stegun. — New York: Academic Press, 1954. — xiv + 1046 p. (недоступная ссылка)  (See § 10.4).
• Olver F. W. G. . Chapter 11. Differential Equations with a Parameter: Turning Points // Asymptotics and Special Functions. — New York: Academic Press, 1974. — xvi + 571 p. — (Computer Science and Applied Mathematics). — P. 392—434.

Ссылки Править

• Weisstein, Eric W. Airy Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
•  (недоступная ссылка с 02-10-2015 [2937 дней])Chapter AI: Airy and related functions in the Digital library of mathematical functions.