Функции Скорера

Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, представляющие собой общие решения дифференциального уравнения:

$y^{″}-<!--\; -\; -->xy=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$y''-xy={\frac {1}{\pi }}$

Введены Р. Скорером в 1950 году.

Интегральное выражение функций Скорера:

$\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt$$\mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt$

$\mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{t^3}{3}+xt\right)dt$$\mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt$

Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:

${\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

ЛитератураПравить

• Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations