Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $[x_1:x_2]$$[x_{1}:x_{2}]$. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

ПримерыПравить

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности $\mathbb{R}{P}^1\cong <!--\; \cong \; -->S^1$$\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ . Комплексная проективная прямая $\mathbb{C}{P}^1$$\mathbb {C} P^{1}$  — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере $S^2$$S^{2}$ . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, $\mathbb{H}{P}^1\cong <!--\; \cong \; -->S^4$$\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ .

Действие групп на проективной прямойПравить

Для групп $G{L}_2(k),S{L}_2(k)$$GL_{2}(k),SL_{2}(k)$  и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы $PG{L}_2(k),PS{L}_2(k)$$PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ , для которых это действие является точным. Для конечного поля $PS{L}_2(k)$$PSL_{2}(k)$  изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.

В алгебраической геометрииПравить

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой $P^1(K)$$P^{1}(K)$  является поле $K(X)$$K(X)$  рациональных функций. Группой автоморфизмов поля $K(X)$$K(X)$  является группа $PG{L}_2(K)$$PGL_{2}(K)$ . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

ЛитератураПравить

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.