Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2023 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -мерное многообразие гомотопически эквивалентно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=3$ $n=3$ . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательстваПравить

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(0,1)\times S^{2}$ ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M$ можно представить как набор сферических пространственных форм $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ , соединённых друг с другом трубками $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $[0,1]\times S^{2}$ . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ и более того все $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Gamma _{i}$ тривиальны. Таким образом, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

ИсторияПравить

В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{3}$ , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\geqslant 5$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом ( John R. Stallings — версия статьи «Столлингс, Джон Роберт» на английском языке англ.) (для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\geqslant 5$ , его доказательство было распространено на случаи $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=5,6$ Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=4$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценкиПравить

В 1986 году Майкл Фридман стал Филдсовским лауреатом.
В 2006 году Григорий Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался).
В 2010 году математический институт Клэя присудил^[2] Перельману Премию тысячелетия (отказался).

Отражение в средствах массовой информацииПравить

В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»^[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание^[4].
В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую^[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре^[6].

ПримечанияПравить

↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков Архивная копия от 7 января 2007 на Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru
↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архивная копия от 8 сентября 2017 на Wayback Machine (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
↑ Dana Mackenzie. BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved (англ.) // Science : journal. — 2006. — Vol. 314, no. 5807. — P. 1848—1849. — doi:10.1126/science.314.5807.1848. Архивировано 2 января 2007 года. (англ.)
↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
↑ В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American Science Writing» за 2007 год.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it (англ.) // The New Yorker : magazine. — Condé Nast, 2006. — No. August 21. Архивировано 3 сентября 2012 года. Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет Архивная копия от 16 февраля 2008 на Wayback Machine».

ЛитератураПравить

Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана) Архивная копия от 4 августа 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. 2019, сер. 3. Вып. 24, С. 53-69.

СсылкиПравить

Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (англ.) // ArXiv.org — 2002. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0303109
Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0307245
Milnor J. The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1—2. Архивировано 18 июня 2017 года.
Morgan J., Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.) // ArXiv.org — 2006. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers (англ.)
Terence Tao''. Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)

[1] И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков Архивная копия от 7 января 2007 на Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru

[2] Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архивная копия от 8 сентября 2017 на Wayback Machine (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

[3] Dana Mackenzie. BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved (англ.) // Science : journal. — 2006. — Vol. 314, no. 5807. — P. 1848—1849. — doi:10.1126/science.314.5807.1848. Архивировано 2 января 2007 года. (англ.)

[4] Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.

[5] В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American Science Writing» за 2007 год.

[6] Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it (англ.) // The New Yorker : magazine. — Condé Nast, 2006. — No. August 21. Архивировано 3 сентября 2012 года. Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет Архивная копия от 16 февраля 2008 на Wayback Machine».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]