Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точекПравить

Точка $x$$x$  называется предельной точкой подмножества $A$$A$  в топологическом пространстве $X$$X$ , если всякая проколотая окрестность точки $x$$x$  имеет с $A$$A$  непустое пересечение.

Точка $x$$x$  называется точкой накопления подмножества $A$$A$ , если всякая окрестность точки $x$$x$  имеет с $A$$A$  бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка $x$$x$  называется точкой конденсации подмножества $A$$A$ , если всякая окрестность точки $x$$x$  содержит несчётное множество точек $A$$A$ .

Точка $x$$x$  называется точкой полного накопления подмножества $A$$A$ , если для всякой окрестности $U$$U$  точки $x$$x$  мощность пересечения $U\cap <!--\; \cap \; -->A$$U\cap A$  равна мощности множества $A$$A$ .

Связанные понятия и свойстваПравить

• Точка $x$$x$  называется точкой прикосновения подмножества $A$$A$  в топологическом пространстве $X$$X$ , если всякая окрестность точки $x$$x$  имеет с $A$$A$  непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества $A$$A$  составляет его замыкание $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\bar A$ .

• Изолированной называется такая точка $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$ , у которой есть окрестность, не имеющая с $A$$A$  других общих точек, кроме $x$$x$ . Подмножество в $A$$A$ , состоящее из одной этой точки, является открытым в $A$$A$  (в индуцированной топологии).

• Таким образом, все точки прикосновения любого множества $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  (то есть точки замыкания $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\bar A$ ) делятся на два вида: предельные и изолированные точки $A$$A$ . Вторые составляют подмножество $A$$A$ , первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

• Совокупность всех предельных точек множества $A$$A$  называется его произво́дным мно́жеством и обозначается $A^{\prime }$$A'$ . Все предельные точки множества входят в его замыкание $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\bar A$ . Более того, справедливо равенство: $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}=A\cup <!--\; \cup \; -->A^{\prime }$${\bar A}=A\cup A'$ , из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• Если $x$$x$  — предельная точка множества $A$$A$ , то существует направление точек из $A$$A$ , сходящееся к $x$$x$ .

• В метрических пространствах, если $x$$x$  — предельная точка множества $A$$A$ , то существует последовательность точек из $A$$A$  сходящаяся к $x$$x$ . Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
• Топологическое пространство $X$$X$  компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$$X$ .

• Топологическое пространство $X$$X$  счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в $X$$X$ . Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

ПримерыПравить

• Рассмотрим множество вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
  • $(a,b{)}^{\prime }=[a,b];$$(a,b)'=[a,b];$ 
  • ${\mathbb{Q}}^{\prime }=\mathbb{R},$${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$  где $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  — множество рациональных чисел;
  • ${\mathbb{Z}}^{\prime }=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->},$${\mathbb {Z}}'=\varnothing ,$  где $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  — множество целых чисел;
• Пусть ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  — первый несчётный ординал. Рассмотрим $[0,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1]$$[0,\omega _{1}]$  — ординал ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1+1$$\omega _{1}+1$  с порядковой топологией. Точка ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  является предельной точкой множества $[0,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1)$$[0,\omega _{1})$ , однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$ .

Предельная точка числового множестваПравить

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ , если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ .

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

СвойстваПравить

• У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  и $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ , то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

• Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка числовой последовательностиПравить

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

$x$$x$  — предельная точка последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\iff <!--\; \iff \; -->$$\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow$ 

$\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon$ 

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ » и «$+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ ». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «$-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ » является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «$+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ » является её предельной точкой. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

СвойстваПравить

• Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).

  $x$$x$  — предельная точка последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim _{{n\to \infty }}x_{{k_{n}}}=x$ 

  Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.

• Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

  $x,x^{\prime }$$x,x'$  — предельные точки последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x=x^{\prime }$$\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow x=x'$ 

• Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.

  $x$$x$  — предельная точка последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=x$$\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ 

• Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
• У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

ПримерыПравить

• У последовательности из единиц ${\left\{1\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$  существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
• У последовательности ${\left\{1/n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$  существует единственная предельная точка 0.
• У последовательности натуральных чисел ${\left\{n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$  нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ ).
• У последовательности ${\left\{{\left(-<!--\; -\; -->1\right)}^n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$  существуют две предельные точки: −1 и +1.
• У последовательности из всех рациональных чисел ${\left\{q_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ , занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Предельная точка направленияПравить

Пусть ${\left\{x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{A}}$$\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$  — направление элементов топологического пространства $X$$X$ . Тогда $x$$x$  называется предельной точкой направления, если для любой окрестности $U$$U$  точки $x$$x$  и для любого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{A}$$\alpha \in \mathrm {A}$  найдётся индекс $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{A}$$\beta \in \mathrm {A}$  такой что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\beta \geqslant \alpha$  и $x_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\in <!--\; \in \; -->U$$x_{\beta }\in U$ 

СвойстваПравить

• Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

ПримерыПравить

Пусть $A=[0,1)$$A=[0,1)$  — направлено по возрастанию. У направления ${\left\{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$\left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A}$  существует единственная предельная точка $1$${1}$  в топологическом пространстве $[0,1]$$[0, 1]$ .

См. такжеПравить

• Изолированная точка

ЛитератураПравить

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.