Точка конденсации

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества $A$$A$ в топологическом пространстве $X$$X$ точка $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ называется точкой конденсации, если во всякой окрестности $x$$x$ содержится несчётное множество точек множества $A$$A$.

Множество точек конденсации множества $A$$A$ — $A^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$A^{\circ }$ — замкнуто, более того, если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума. Множество точек конденсации замыкания множества совпадает с множеством точек конденсации самого множества: ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=A^{\circ <!--\; \circ \; -->}$${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$. Объединение множеств точек конденсации двух множеств совпадает со множеством точек конденсации объединения исходных множеств: $(A\cup <!--\; \cup \; -->B{)}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=A^{\circ <!--\; \circ \; -->}\cup <!--\; \cup \; -->B^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$. Для множества $A$$A$ в пространстве $X$$X$ со второй аксиомой счётности $A\setminus <!--\; \setminus \; -->A^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$A\setminus A^{\circ }$ счётно и $(A^{\circ <!--\; \circ \; -->}{)}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=A$$(A^{\circ })^{\circ }=A$. Из последних двух свойств непосредственно следует теорема Кантора — Бендиксона в общетопологическом варианте (изначально доказанная для подмножеств числовой прямой).

У подмножества числовой все предельные точки являются точками конденсации; каждая точка канторова дисконтинуума является его точкой конденсации. У счётного множества точек конденсации быть не может (при этом предельные точки могут существовать, например, предельными для счётного множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ являются все точки числовой прямой).

Для подпространств евклидовых пространств точки конденсации определил и изучил в 1903 году Эрнст Линделёф, в 1914 году Феликс Хаусдорф распространил понятие на общие топологические пространства.

ЛитератураПравить

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 104, 143, 159—160. — 368 с.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 102. — 752 с.
• Точка конденсации — статья из Математической энциклопедии. Б. А. Ефимов