Расслоение

Расслоение — тройка $(X,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},B)$$(X,\pi ,B)$, где $X$$X$ — топологическое пространство, называемое пространством расслоения (а также тотальным или расслоённым пространством), $B$$B$ — другое пространство, называемое базой расслоения, $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ — непрерывное сюръективное отображение (проекция расслоения) $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->B$$\pi \colon X\to B$ пространства $X$$X$ в пространство $B$$B$. Часто расслоением называют само отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ или пространство $X$$X$.

Для каждого элемента $b\in <!--\; \in \; -->B$$b\in B$ определяется слой над этим элементом как подмножество $F_b\subset <!--\; \subset \; -->X$$F_{b}\subset X$ всех прообразов элемента $b\in <!--\; \in \; -->B$$b\in B$, то есть $F_b={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(\{b\})$$F_{b}=\pi ^{-1}(\{b\})$. Соответственно расслоение представляет собой объединение $F$$F$ слоёв $F_b$$F_{b}$, параметризованных базой $B$$B$ и склеенных топологией пространства $X$$X$.

Отображение $h:<!--\; :\; -->B\to <!--\; \to \; -->X$$h\colon B\to X$ такое, что $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->h$$\pi \circ h$ ― тождественное отображение на $B$$B$ называется сечением расслоения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:X\to <!--\; \to \; -->B$$\pi :X\to B$,

Типы расслоенийПравить

Как правило, изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение.

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению $B\times <!--\; \times \; -->F$$B\times F$ , а проекция задаётся каноническим образом: $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(b,f)=b,b\in <!--\; \in \; -->B,f\in <!--\; \in \; -->F$$\pi (b,f)=b,\quad b\in B,~f\in F$ 

Соответственно расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением.

Локально-тривиальное расслоение называется гладким, если функции переходов являются гладкими.

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее) $X$$X$  так, что каждой точке $x$$x$  пространства $X$$X$  сопоставляется векторное пространство $V_x$$V_{x}$ , объединение которых образует пространство такого же типа, что и $X$$X$ . Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над $X$$X$ .

Касательное расслоение (гладкого) многообразия $M$$M$  — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств $TM$$TM$ , а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича, расслоение Зейферта, расслоение Серра, расслоение Хопфа.

ЛитератураПравить

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. — М.: Наука, 1981. — 344 с.