Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $X$$X$ обычно обозначается $\dim <!--\; \; -->X$$\dim X$.

ОпределениеПравить

Для метрических пространствПравить

Для компактного метрического пространства $X$$X$  размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$$n$ , обладающее тем свойством, что при любом $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует конечное открытое $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -покрытие $X$$X$ , имеющее кратность $⩽<!--\; ⩽\; -->n+1$$\leqslant n+1$ ;

При этом

• $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$ , а
• кратностью конечного покрытия пространства $X$$X$  называется наибольшее такое целое число $k$$k$ , что существует точка пространства $X$$X$ , содержащаяся в $k$$k$  элементах данного покрытия.

Для топологических пространствПравить

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$$X$  размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$$n$  такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства $X$$X$  существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности $n+1$$n+1$ .

При этом покрытие $\mathcal{P}$${\mathcal P}$  называется вписанным в покрытие $\mathcal{Q}$$\mathcal Q$ , если каждый элемент покрытия $\mathcal{P}$${\mathcal P}$  является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $\mathcal{Q}$$\mathcal Q$ .

ПримерыПравить

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

СвойстваПравить

• Неравенство

  $\dim <!--\; \; -->(X\times <!--\; \times \; -->Y)⩽<!--\; ⩽\; -->\dim <!--\; \; -->X+\dim <!--\; \; -->Y.$$\dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$ 

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства $X$$X$  и $Y$$Y$ :

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства $X$$X$  совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на $X$$X$ .
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство $X$$X$  имеет размерность $\dim <!--\; \; -->X⩽<!--\; ⩽\; -->n$$\dim X\leqslant n$  тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия $\mathcal{U}=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{A}}$${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$  пространства $X$$X$  существует вписанное покрытие $\mathcal{V}$${\mathcal V}$ , которое состоит из $n+1$$n+1$  подсемейств ${\mathcal{V}}_1,{\mathcal{V}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathcal{V}}_{n+1}$${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$  таких, что каждое подсемейство ${\mathcal{V}}_i$${\mathcal {V}}_{i}$  состоит из непересекающиеся между собой множеств.

ИсторияПравить

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность $n$$n$ -мерного куба равна $n$$n$ . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim <!--\; \; -->X$$\dim X$  (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

ЛитератураПравить

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973