Губка Менгера

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

5 итераций

На 6-й итерации

Губка Менгера после четырёх итераций

ПостроениеПравить

Итеративный методПравить

Куб $C_0$$C_{0}$  с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба $C_0$$C_{0}$  удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество $C_1$$C_{1}$ , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество $C_2$$C_{2}$ , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$C_0\supset <!--\; \supset \; -->C_1\supset <!--\; \supset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\supset <!--\; \supset \; -->C_n\supset <!--\; \supset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots$ ,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаосПравить

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос^[en], который заключается в следующем:

1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
2. Задаётся некоторая начальная точка $P_0$$P_0$ , лежащая внутри куба.
3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
   1. Случайно выбирается аттрактор $A$$A$  из 20 возможных с равной вероятностью.
   2. Строится точка $P_i$$P_{i}$  с новыми координатами: $x_i=\frac{x_{i-<!--\; -\; -->1}+2x_A}{3};y_i=\frac{y_{i-<!--\; -\; -->1}+2y_A}{3};z_i=\frac{z_{i-<!--\; -\; -->1}+2z_A}{3}$$x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$ , где: $x_{i-<!--\; -\; -->1},y_{i-<!--\; -\; -->1},z_{i-<!--\; -\; -->1}$$x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$  — координаты предыдущей точки $P_{i-<!--\; -\; -->1}$$P_{{i-1}}$ ; $x_A,y_A,z_A$$x_{A},y_{A},z_{A}$  — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

СвойстваПравить

 

Губка Менгера в разрезе

• Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
• Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна $\ln <!--\; \; -->20/\ln <!--\; \; -->3\approx <!--\; \approx \; -->2,73$$\ln 20/\ln 3\approx 2{,}73$  поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности $U$$U$  любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$  множество $U\setminus <!--\; \setminus \; -->x$$U\setminus x$  связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона $C$$C$ , в губке Менгера найдется подмножество $C^{\prime }$$C'$ , гомеоморфное $C$$C$ .
• Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
  • Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию: ${\left(\frac{20}{27}\right)}^n$$\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$ 

• Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью $x+y+z=0$$x+y+z=0$  содержит гексаграммы.
• Губка Менгера хорошо рассеивает ударные волны.

См. такжеПравить

• Теория хаоса
• Система итерируемых функций^[en]

СсылкиПравить

• Обобщённый алгоритм построения фракталов методом хаоса на ресурсе Wolfram
• Код для построения фракталов методом хаоса на языке AutoLISP