Поверхность Понтрягина

Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_m$$\Pi _{m}$. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю $m=2,3,..$$m=2,3,..$ равна $1$$1$.

СвойстваПравить

• Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
• $\operatorname {dim} \,\Pi _{m}\times \Pi _{k}=3<\operatorname {dim} \,\Pi _{m}+\operatorname {dim} \,\Pi _{k}=4$  при $m\ne k$$m\not =k$ 

ИсторияПравить

Понтрягин построил такие поверхности ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_2$$\Pi _{2}$ , ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_3$$\Pi _{3}$ , что их топологическое произведение $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}={\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_3$$\Pi =\Pi _{2}\times \Pi _{3}$  есть континуум размерности $3$$3$ . Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум $B$$B$  (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого $B^2=B\times <!--\; \times \; -->B$$B^{2}=B\times B$  трёхмерен.

Вариации и обобщенияПравить

• поверхность Болтянского — двумерный континуум $B$$B$  топологический квадрат которого $B^2=B\times <!--\; \times \; -->B$$B^{2}=B\times B$  трёхмерен.

ЛитератураПравить

• П. С. Александров Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.
• В. Болтянский. О теореме сложения размерностей (рус.) // УМН. — 1951. — Т. 6, № 3(43). — С. 99—128.
• L. Роntгjagin. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension // Gomptes Rendus. — 1930. — Т. 190. — С. 1105—1107.