Положительный оператор (гильбертово пространство)

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор $A$$A$ такой, что $(Ax,x)\ge <!--\; \ge \; -->0$$(Ax, x) \ge 0$ для любого $x$$x$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение $A\ge <!--\; \ge \; -->0$$A \ge 0$. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут $A>0$$A>0$, если оператор $A$$A$ — положительный, и $A\ge <!--\; \ge \; -->0$$A \ge 0$, если $A$$A$ — положительный или нулевой.

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси $[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0, \infty)$, причем это необходимое и достаточное условие. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором.

СвойстваПравить

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор $A\ge <!--\; \ge \; -->0$$A \ge 0$  и вещественное число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$$\alpha \ge 0$ , то $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}A\ge <!--\; \ge \; -->0$$\alpha A \ge 0$ .
• Если $A\ge <!--\; \ge \; -->0$$A \ge 0$  и обратный оператор $A^{-<!--\; -\; -->1}$$A^{{-1}}$  существует, то $A^{-<!--\; -\; -->1}\ge <!--\; \ge \; -->0$$A^{-1} \ge 0$ .
• $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A\ge <!--\; \ge \; -->0,A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$$A^* A \ge 0, \, A A^* \ge 0$  для любого линейного оператора $A$$A$ . В частности, $A^2\ge <!--\; \ge \; -->0$$A^2 \ge 0$  для любого самосопряжённого оператора $A$$A$ . Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования.
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор.
• Для положительного оператора $A$$A$  и любых элементов $x,y$$x,y$  гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

$|(Ax,y){|}^2\le <!--\; \le \; -->(Ax,x)(Ay,y)$$|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)$ .

Квадратный кореньПравить

У каждого ограниченного положительного оператора $A$$A$  существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор $B$$B$ , что $B^2=A$$B^2 = A$ . Если оператор $A$$A$  обратим, то $B$$B$  тоже обратим. Квадратный корень $B$$B$  перестановочен с любым оператором, перестановочным с $A$$A$ .

Полярное разложениеПравить

Основная статья: Полярное разложение

Любой ограниченный линейный оператор $T$$T$  в гильбертовом пространстве обладает разложением $T=UP$$T = U P$ , где $P$$P$  — положительный оператор, $U$$U$  — частичная изометрия. Если $T$$T$  — нормальный оператор, то оператор $U$$U$  в полярном разложении унитарный.

Отношение порядкаПравить

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: $A\ge <!--\; \ge \; -->B$$A \ge B$  или $B\le <!--\; \le \; -->A$$B \le A$ , если оператор $A-<!--\; -\; -->B$$A - B$  — положительный, иначе говоря, $(Ax,x)\ge <!--\; \ge \; -->(Bx,x)$$(A x, x) \ge (B x, x)$  для любого $x$$x$  из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если $A\ge <!--\; \ge \; -->B$$A \ge B$  и $C\ge <!--\; \ge \; -->D$$C \ge D$ , то $A+C\ge <!--\; \ge \; -->B+D$$A + C \ge B + D$ .
• Если $A\ge <!--\; \ge \; -->B$$A \ge B$  и $B\ge <!--\; \ge \; -->C$$B \ge C$ , то $A\ge <!--\; \ge \; -->C$$A \ge C$ .
• Если $A\ge <!--\; \ge \; -->B$$A \ge B$  и $c>0$$c>0$ , то $cA\ge <!--\; \ge \; -->cB$$c A \ge c B$ .
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору.

Полуограниченный операторПравить

Симметричный оператор $S$$S$  называется полуограниченным снизу, если существует действительное число $c$$c$  такое, что

$(Sx,x)\ge <!--\; \ge \; -->c(x,x)$$(S x, x) \ge c(x, x)$ 

для любого $x$$x$  из области определения оператора $S$$S$ ; наибольшее из всех значений $c$$c$ , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора $S$$S$ . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань.

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор $P$$P$  посредством одной из следующих формул:

$S=P+cI,S=-<!--\; -\; -->P+cI,$$S = P + cI, \quad S = -P + cI,$ 

где $I$$I$  — единичный оператор.

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор $S$$S$  (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора $A$$A$ , причем оператор $A$$A$  будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и $S$$S$ .

Случай конечномерного пространстваПравить

Симметрический оператор $S$$S$  (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве $R$$R$  называется неотрицательным, если $(Sx,x)\ge <!--\; \ge \; -->0$$(S x, x) \ge 0$  для любого $x\in <!--\; \in \; -->R$$x\in R$ . В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$$(S x, x)$  называется неотрицательной, а матрица оператора $S$$S$  — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор $S$$S$  называется положительно определённым, если для любого вектора $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x \ne 0$  из $R$$R$  $(Sx,x)>0$$(S x, x) > 0$ . В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$$(S x, x)$  и матрица оператора $S$$S$  называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра.

ПримерПравить

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

$Au(x)=-<!--\; -\; -->(p(x)u^{\prime }(x){)}^{\prime }+q(x)u(x),$$A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),$ 

где

$p(x)\ge <!--\; \ge \; -->0,q(x)\ge <!--\; \ge \; -->q_0,(0\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->1),$$p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),$ 

если его рассматривать в пространстве $L_2(0,1)$$L_2(0, 1)$ , отнеся к области определения функции $u(x)$$u(x)$ , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

$u(0)=0,u^{\prime }(1)+hu(1)=0,$$u(0) = 0, \quad u'(1) + h u(1) = 0,$ 

где $h\ge <!--\; \ge \; -->0$$h \ge 0$  — некоторая постоянная; функции $p(x),p^{\prime }(x),q(x)$$p(x), p'(x), q(x)$  также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

$(Au,u)=hp(1)|u(1){|}^2+\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}p(x)|u^{\prime }(x){|}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}q(x)|u(x){|}^{2}dx\ge <!--\; \ge \; -->\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{q}_0|u(x){|}^{2}dx=q_0(u,u).$$(A u, u) = h p(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).$ .

Если $q_0\ge <!--\; \ge \; -->0$$q_0 \ge 0$ , то оператор положительный.

См. такжеПравить

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

ЛитератураПравить

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 444 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.