Изотопия

Изотопия — это гомотопия $f_t:X\to <!--\; \to \; -->Y,t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$f_{t}:X\to Y,t\in [0,1]$, для которой при любом $t$$t$ отображение $f_t$$f_t$ является гомеоморфизмом $X$$X$ на $f(X)\subset <!--\; \subset \; -->Y$$f(X)\subset Y$.

ОпределениеПравить

Изотопия многообразия $M$$M$  — гладкое отображение $f:[0,1]\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->M$$f:[0,1]\times M\to M$  такое, что каждое $f_t:M\to <!--\; \to \; -->M$$f_{t}:M\to M$  является диффеоморфизмом, где $f_t(x)=f(t,x)$$f_{t}(x)=f(t,x)$  и $f_t$$f_{t}$  не зависит от $t$$t$  в некоторых окрестностях 0 и 1 ($f_t$$f_{t}$  — тождественное отображение).

Изотопия $f$$f$  называется эквивариантной, если оно коммутирует с действием группы. Точнее если $f^G=M,$$f^{G}=M,$  где $f^G=\{x\in <!--\; \in \; -->M|f_t(gx)=g{f}_t(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t\in <!--\; \in \; -->I\mathrm{\&<!--\; \&\; -->}g\in <!--\; \in \; -->G\}.$$f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And \,g\in G\}.$  Предполагается, что группа $G$$G$  гладко действует на $M$$M$ .

Множество $f^G$$f^{G}$  является замкнутым инвариантным подпространством многообразия $M$$M$  (подпространством эквивариантности изотопии $f$$f$ ).

Связанные определенияПравить

• Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии $f_t:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f_{t}:X\to Y$  называется изотопия пространства $F_t:Y\to <!--\; \to \; -->Y$$F_{t}:Y\to Y$  такая, что $F_t{|}_X\equiv <!--\; \equiv \; -->f_t$$F_{t}|_{X}\equiv f_{t}$ 
• Два вложения $f_0,f_1:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f_{0},f_{1}:X\to Y$  называются изотопными если существует накрывающая изотопия $F_t:Y\to <!--\; \to \; -->Y$$F_{t}:Y\to Y$ , для которой $F_0=id,F_1(f_0(X))=f_1(X)$$F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)$ .
• Пространства $X$$X$  и $Y$$Y$  называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения $f:X\to <!--\; \to \; -->Y,g:Y\to <!--\; \to \; -->X$$f:X\to Y,\ g:Y\to X$  такие, что композиции $g\circ <!--\; \circ \; -->f:X\to <!--\; \to \; -->X$$g\circ f:X\to X$  и $f\circ <!--\; \circ \; -->g:Y\to <!--\; \to \; -->Y$$f\circ g:Y\to Y$  изотопны тождественным отображениям.
  • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например $n$$n$ -мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
  • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

СвойстваПравить

• Изотопия является отношением эквивалентности.
• Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
• Существуют диффеоморфизмы сферы $S^n$$S^{n}$  на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности $n+1$$n+1$ .