Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

ОбзорПравить

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B.

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

 

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал $A\exp <!--\; \; -->(st)$$A\exp({st})$  с некоторой комплексной амплитудой $A$$A$  и частотой $s$$s$ , то выход будет равен некоторому сигналу $B\exp <!--\; \; -->(st)$$B\exp({st})$  с комплексной амплитудой $B$$B$ . Отношение $B/A$$B/A$  будет являться передаточной функцией системы на частоте $s$$s$ .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразованияПравить

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — $x(t)$$x(t)$ , где аргумент — числа действительной оси, то есть $t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$t\in \mathbb {R}$ . Линейный оператор $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$  показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

$h(t_1,t_2)\text{, }{t}_1,t_2\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.$ 

Для дискретной системы:

$h[n_1,n_2]\text{, }{n}_1,n_2\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}.$$h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.$ 

Так как $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$  — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал $x(t)$$x(t)$  представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

$y(t_1)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t_1,t_2)x(t_2)d{t}_2.$$y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.$ 

Если линейный оператор $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$  ко всему прочему является и стационарным, тогда

$h(t_1,t_2)=h(t_1+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},t_2+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.$ 

Положив

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=-<!--\; -\; -->t_2,$$\tau =-t_{2},$ 

получим:

$h(t_1,t_2)=h(t_1-<!--\; -\; -->t_2,0).$$h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).$ 

Для краткости записи второй аргумент в $h(t_1,t_2)$$h (t_1, t_2)$  обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

$y(t_1)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t_1-<!--\; -\; -->t_2)x(t_2)d{t}_2=(h\ast <!--\; \ast \; -->x)(t_1).$$y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).$ 

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

$y[n_1]=\underset{n_2=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h[n_1-<!--\; -\; -->n_2]x[n_2]=(h\ast <!--\; \ast \; -->x)[n_1].$$y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].$ 

Импульсная переходная функцияПравить

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

$(h\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})(t)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=h(t),$$(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),$ 

Для дискретной системы:

$x[n]=\underset{m=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x[m]\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[n-<!--\; -\; -->m].$$x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[n-m].$ 

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

$h(t)=h(t,0)(\text{with }t=t_1-<!--\; -\; -->t_2)$$h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{with } t = t_1 - t_2)$ 

то есть $h(t)$$h(t)$  — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

$x(t)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$ 

Приложив ко входу системы, получим:

$\mathcal{H}x(t)=\mathcal{H}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$ 

$=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathcal{H}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$  (так как $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$  линейна)

$=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathcal{H}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau$  (так как $x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$x(\tau )$  постоянна по t и $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$  линейна)

$=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})h(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau$  (by definition of $h(t)$$h(t)$ )

В импульсной переходной функции $h(t)$$h(t)$  содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функцииПравить

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

$\mathcal{H}f=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}f$$\mathcal{H}f = \lambda f$ ,

где f — собственная функция, и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — собственное число, константа.

Экспоненты $e^{st}$$e^{s t}$ , где $s\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$s \in \mathbb{C}$  являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы $x(t)=e^{st}$$x(t) = e^{s t}$ . Тогда выходной сигнал системы $h(t)$$h(t)$  равен:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{s\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau$ 

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{s(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau$ 

$=e^{st}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->s\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\quad = e^{s t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau$ 

$=e^{st}H(s)$$\quad = e^{s t} H(s)$ ,

где

$H(s)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$$H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t$ 

зависит только от s.

Таким образом, $e^{st}$$e^{s t}$  — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и ФурьеПравить

Основная статья: Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа

$H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$$H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t$ 

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида $\exp <!--\; \; -->(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\exp({j \omega t})$  где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\omega \in \mathbb{R}$  и $j$$j$  — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье $H(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\mathcal{F}\{h(t)\}$$H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$  даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. $H(s)$$H(s)$  называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к $H(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$H(j\omega)$ .

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

$y(t)=(h\ast <!--\; \ast \; -->x)(t)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}h(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau$ 

$={\mathcal{L}}^{-<!--\; -\; -->1}\{H(s)X(s)\}$$\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}$ 

Для дискретных систем:

$y[n]=(h\ast <!--\; \ast \; -->x)[n]=\underset{m=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h[n-<!--\; -\; -->m]x[m]$$y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m]$ 

$={\mathcal{Z}}^{-<!--\; -\; -->1}\{H(s)X(s)\}$$\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}$ 

Некоторые свойстваПравить

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

ПричинностьПравить

Основная статья: Причинная система

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

$h(t) = 0 \quad \forall t < 0,$ 

Для дискретных систем:

$h[n] = 0 \ \forall n < 0,$ 

где $h(t)$$h(t)$  — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

УстойчивостьПравить

Основная статья: Устойчивость BIBO

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

$||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty$ 

и

$||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty$ 

(то есть, максимумы абсолютных значений $x(t)$$x(t)$  и $y(t)$$y(t)$  конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, $h(t)$$h(t)$ , должна удовлетворять выражению

$||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.$ 

Для дискретных систем:

$||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.$ 

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось $s=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$s=j\omega$ .

См. такжеПравить

• АФЧХ
• ЛАФЧХ
• Системный анализ
• Передаточная функция
• Функция Грина
• Нелинейное управление

СсылкиПравить

• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May.
• В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения (неопр.). — Л.: ЛГУ, 1980.