Экспонента

Запрос «EXP» перенаправляется сюда; о классе сложности см. Класс EXPTIME.

Экспоне́нта — показательная функция $f(x)=\exp <!--\; \; -->(x)=e^x$$f(x)=\exp(x)=e^{x}$, где $e\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,718}$$e\approx 2{,}718$ — число Эйлера.

График экспоненты $y=e^x$$y=e^{x}$ (синим).
Касательная (красным) в нуле у функции $e^x$$e^{x}$ наклонена на $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->})$${\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })$.
Рядом для примера показаны $y=2^x$$y=2^{x}$ (точками) и $y=4^x$$y=4^{x}$ (штрихами)

ОпределениеПравить

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

$e^x=1+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$e^{x}=1+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$ 

или через предел:

$e^x=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$e^{x}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ .

Здесь $x$$x$  — любое комплексное число.

Происхождение понятияПравить

Слово экспонента происходит от лат. "exponere", что переводится как "выставить вперёд; показать", которое в свою очередь произошло от лат. приставки "ex-" ("впереди") и лат. слова "ponere" ("ставить, расположить"); Смысл использования такого слова для показателя степени заключается в том, что знак экспоненты "ставят вне" привычной линии письма $a^x$$a^{x}$ (немного выше и правее места, где обычно должна быть поставлена цифра).

СвойстваПравить

• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$$(e^{x})'=e^{x}$ , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения $y^{\prime }=y$$y'=y$  с начальными данными $y(0)=1$$y(0)=1$ . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента — выпуклая функция.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм $(\ln <!--\; \; -->x)$$(\ln x)$ .
• Преобразование Фурье экспоненты — обобщённая функция, а именно дельта-функция Дирака.
• Преобразование Лапласа экспоненты $e^{ax}$$e^{ax}$  определено в области $\operatorname {Re} (x)<a$ .
• Производная в нуле равна $1$$1$ , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом ${45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$45^{\circ }$  или $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\frac {\pi }{4}}$ .
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  $\exp <!--\; \; -->(a+b)=\exp <!--\; \; -->(a)\exp <!--\; \; -->(b)$$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна $0$$0$ , либо имеет вид $\exp <!--\; \; -->(cx)$$\exp(cx)$ , где $c$$c$  — некоторая константа.

• $e^x=\mathrm{sh}<!--\; \; -->x+\mathrm{ch}<!--\; \; -->x$$e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x$ , где $\mathrm{sh}$$\operatorname {sh}$  и $\mathrm{ch}$$\operatorname {ch}$  — гиперболические синус и косинус.
• В приложениях экспонента участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент пропорциональна самому количеству.

Комплексная экспонентаПравить

 

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением $f(z)=e^z$$f(z)=e^{z}$ , где $z$$z$  есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты $f(x)=e^x$$f(x)=e^{x}$  вещественного переменного $x$$x$ :

Определим формальное выражение

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{iy}$$e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}$ .

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции $e^z$$e^{z}$ , то есть показать, что $e^z$$e^{z}$  разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

$f(z)=e^z=e^x\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{iy}=e^{iy}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!}$$f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ .

Сходимость данного ряда легко доказывается:

$\left|e^{iy}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!}\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!}\right|\le <!--\; \le \; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{|x{|}^n}{n!}=e^{|x|}$$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$ .

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции $f(z)=e^z$$f(z)=e^{z}$ . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция $e^z$$e^{z}$  всюду определена и аналитична.

СвойстваПравить

• Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
• $e^z$$e^{z}$  — периодическая функция с основным периодом 2πi: $e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=e^{i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$$e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ .
• $e^z$$e^{z}$  — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
• Алгебраически экспонента от комплексного аргумента $z=x+iy$$z=x+iy$  может быть определена следующим образом:

  $e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$  (формула Эйлера).

  • В частности, имеет место тождество Эйлера:

    $e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}+1=0.$$e^{i\pi }+1=0.$ 

Вариации и обобщенияПравить

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонентаПравить

Основная статья: Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

$\exp <!--\; \; -->A=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{A^k}{k!}.$$\exp A=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.$ 

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора $A$$A$  с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы $A:<!--\; :\; -->$$A\colon$  $\exp <!--\; \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->.$$\exp \|A\|.$  Следовательно, экспонента от матрицы $A\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{n\times <!--\; \times \; -->n}$$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$  всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=Ax,x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$${\dot x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$  с начальным условием $x(0)=x_0$$x(0)=x_{0}$  имеет своим решением $x(t)=\exp <!--\; \; -->(At)x_0.$$x(t)=\exp(At)x_{0}.$ 

h-экспонентаПравить

Введение $h$$h$ -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

$e_h(x)=(1+h{)}^{\frac{x}{h}}.$$e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.$ 

При $h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to 0$  получается обычная экспонента.

Обратная функцияПравить

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается $\ln <!--\; \; -->x$$\ln x$ :

$\ln <!--\; \; -->x={\log }_e<!--\; \; -->x.$$\ln x=\log _{{e}}x.$ 

См. такжеПравить

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций

ЛитератураПравить

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

СсылкиПравить

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)