Теорема сравнения Рауха

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом.

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

ФормулировкаПравить

Пусть $M$$M$  и $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{M}$${\tilde {M}}$  суть римановы многообразия. Пусть $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:<!--\; :\; -->[0,T]\to <!--\; \to \; -->M$$\gamma \colon [0,T]\to M$  и $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}:<!--\; :\; -->[0,T]\to <!--\; \to \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{M}$${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$  суть геодезические с единичной скоростью, такие, что $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(0)$${\widetilde {\gamma }}(0)$  не имеет сопряженных точек вдоль $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$${\tilde {\gamma }}$ , и пусть $J,\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}$$J,{\tilde {J}}$  — нормальные поля Якоби вдоль $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  и $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$${\tilde {\gamma }}$ , такие, что $J(0)=\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}(0)=0$$J(0)={\tilde {J}}(0)=0$  и $|J^{\prime }(0)|=|{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}}^{\prime }(0)|$$|J'(0)|=|{\tilde {J}}'(0)|$ . Предположим, что секционные кривизны $M$$M$  и $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{M}$${\tilde {M}}$  всюду удовлетворяют $K(\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{K}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}})$$K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})$ , где $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t)}M$$\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$  — это 2-плоскость, содержащая $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t)$${\dot {\gamma }}(t)$ , а $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->T_{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t)}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{M}$${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$  — 2-плоскость, содержащая $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}(t)$${\dot {\tilde {\gamma }}}(t)$ . Тогда $|J(t)|⩾<!--\; ⩾\; -->|\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}(t)|$$|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$  для всех $t\in <!--\; \in \; -->[0,T]$$t\in [0,T]$ .

СледствияПравить

Пусть $M$$M$  — риманово многообразие, и геодезическая $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:<!--\; :\; -->[0,T]\to <!--\; \to \; -->M$$\gamma \colon [0,T]\to M$  не имеет сопряжённых точек, тогда:

• Если $M$$M$  имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби $J$$J$  такого, что $J(0)=0$$J(0)=0$ , имеем

  $|J(t)|⩽<!--\; ⩽\; -->|J^{\prime }(0)|\cdot <!--\; \cdot \; -->|t|.$$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$ 

• Если секционная кривизна $M$$M$  не меньше 1, то

  $|J(t)|⩽<!--\; ⩽\; -->|J^{\prime }(0)|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\sin <!--\; \; -->t|.$$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$ 

• Если секционная кривизна $M$$M$  не больше −1, то

  $|J(t)|⩽<!--\; ⩽\; -->|J^{\prime }(0)|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\mathrm{sh}<!--\; \; -->t|.$$|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$ 

См. такжеПравить

• Теорема сравнения Топоногова
• Теорема сравнения Штурма

СсылкиПравить

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.