Теорема о разностях

Теорема о разностях — теорема, связывающая понятия производной и прямой конечной разности высших порядков для степенной функции натурального показателя степени.

Теорема Править

Теорема о разностях утверждает, что для любой степенной функции с натуральным показателем степени справедливо равенство производной и конечной разности порядка, равного показателю степени и равняется показателю степени под знаком факториала.

Доказательство Править

Рассмотрим степенную функцию вида $f(x_i)=x_i^n,x_i=i\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=x_{i+1}-<!--\; -\; -->x_i$$f(x_{i})=x_{i}^{n},\ x_{i}=i\cdot \Delta x,\ \Delta x=x_{i+1}-x_{i}$ , где $i,n$$i,\ n$  — натуральные числа. Прямая конечная разность порядка $n$$n$  для такой функции равняется:

$\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^n(x_i^n)}{(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x{)}^n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-<!--\; -\; -->1{)}^k\cdot <!--\; \cdot \; -->(i+n-<!--\; -\; -->k{)}^n=n!$${\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}\cdot {\big (}i+n-k{\big )}^{n}=n!$ 

По определению производной, для функции вида $f(x)=x^n$$f(x)=x^{n}$  имеем производную порядка $n$$n$ : $f^{(n)}(x)=n!$$f^{(n)}(x)=n!$ . Таким образом, соблюдается равенство $\frac{d^n(x^n)}{d{x}^n}=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^n(x_i^n)}{(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x{)}^n}=n!$${\frac {d^{n}(x^{n})}{dx^{n}}}={\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=n!$ 

Литература Править

• Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (New York: Van Nostrand, 1954) online copy
• Jordan, Charles (1939/1965). «Calculus of Finite Differences», Chelsea Publishing. On-line: 1

См. также Править

• Конечные разности
• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.