Теорема Хана — Банаха

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

• Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
• Теорему о разделении выпуклых множеств;
• Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажорантыПравить

Пусть $X$$X$  — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и $p:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$p:X\to \mathbb R$  — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства $Y$$Y$  линейного пространства $X$$X$  каждый линейный функционал $f:Y\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:Y\to \mathbb R$ , удовлетворяющий условию $f(y)⩽<!--\; ⩽\; -->p(y),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->Y$$f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y$ , может быть продолжен на все пространство $X$$X$  с сохранением этого неравенства.

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или супераддитивности функционала $p$$p$  для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: $X=\mathbb{R}$$X=\mathbb R$ , $Y=\{0\}$$Y=\{0\}$ , $p(x):=-<!--\; -\; -->|x|,x\in <!--\; \in \; -->X,f(0)=0$$p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0$ .

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда $p$$p$  — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционалаПравить

Всякий линейный ограниченный функционал $f$$f$ , определённый на линейном многообразии $Y$$Y$  линейного нормированного пространства $X$$X$ , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.

ДоказательствоПравить

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть $z\in <!--\; \in \; -->X\setminus <!--\; \setminus \; -->Y$$z\in X\setminus Y$ . Рассмотрим линейное пространство вида:

$Y_z\doteq <!--\; \doteq \; -->\left\{y+az,y\in <!--\; \in \; -->Y,a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\right\}.$$Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.$ 

Продолжение $f$$f$  на $Y_z$$Y_z$  запишем:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(y+az)\doteq <!--\; \doteq \; -->f(y)+a\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(z),$$\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),$ 

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(z)$$\tilde f(z)$  — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных $y_1,y_2\in <!--\; \in \; -->Y$$y_1, y_2\in Y$  и $a,b>0$$a,b>0$  выполняется:

$f(a{y}_1+b{y}_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2\right)⩽<!--\; ⩽\; -->$$f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant$ 

$⩽<!--\; ⩽\; -->(a+b)p\left(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2\right)=$${} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =$ 

$=(a+b)p\left(\frac{a}{a+b}(y_1-<!--\; -\; -->bz)+\frac{b}{a+b}(y_2+az)\right)⩽<!--\; ⩽\; -->$${}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant$ 

$⩽<!--\; ⩽\; -->ap(y_1-<!--\; -\; -->bz)+bp(y_2+az).$$\leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).$ 

Отсюда

$a\left(f(y_1)-<!--\; -\; -->p(y_1-<!--\; -\; -->bz)\right)⩽<!--\; ⩽\; -->-<!--\; -\; -->b\left(f(y_2)-<!--\; -\; -->p(y_2+az)\right)$$a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)$ 

Как следствие

$\frac{1}{b}\left(-<!--\; -\; -->p(y_1-<!--\; -\; -->bz)+f(y_1)\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-<!--\; -\; -->f(y_2)\right)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}_1,y_2\in <!--\; \in \; -->Y,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b>0.$$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$ 

Определим $c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$c\in \R$  так

$\underset{a>0,y\in <!--\; \in \; -->Y}{sup}\left\{\frac{1}{a}\left[-<!--\; -\; -->p(y-<!--\; -\; -->az)+f(y)\right]\right\}⩽<!--\; ⩽\; -->c⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{a>0,y\in <!--\; \in \; -->Y}{inf}\left\{\frac{1}{a}\left[p(y+az)-<!--\; -\; -->f(y)\right]\right\}.$$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.$ 

Выполняется равенство

$ac⩽<!--\; ⩽\; -->p(y+az)-<!--\; -\; -->f(y)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->Y,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R$ .

Определим

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(z)=c.$$\tilde f(z)=c.$ 

Для всех $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  и произвольных $a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a\in \R$  выполняется неравенство:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(y+az)=f(y)+ac⩽<!--\; ⩽\; -->p(y+az),$$\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),$ 

поэтому

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(x)⩽<!--\; ⩽\; -->p(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->Y_z.$$\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.$ 

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть $E$$E$  является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. такжеПравить

• Выпуклый функционал
• Банаховы пределы

ЛитератураПравить

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.