Банаховы пределы

Линейный функционал $\mathrm{B}\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $B(\mathbf{1})=1$$B(\mathbf{1})=1$

2) $B\ge <!--\; \ge \; -->0$$B\ge 0$ для любых $x\ge <!--\; \ge \; -->0$$x\geq 0$

3) $B(Tx)=B(x)$$B(Tx)=B(x)$ для любого $x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$x\in l_{\infty}$ , где $T$$T$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: $T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$$T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом. Из определения следует, что $\Vert <!--\; \Vert \; -->B{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=1$$\|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1$ и $B(x_1,x_2,...)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n$$B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n$, если последовательность $x_1,x_2,...$$x_1,x_2,...$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$. $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства $l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$l_{\infty}^{*}$. Из неравенства треугольника следует, что для любых $B_1,B_2\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B_1,B_2\in\mathfrak{B}$ справедливо неравенство $\Vert <!--\; \Vert \; -->B_1-<!--\; -\; -->B_2\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->2$$\|B_1-B_2\|\le2$. Если $B_1$$B_1$ и $B_2$$B_{2}$ являются крайними точками множества $\mathfrak{B}$${\mathfrak {B}}$, то $\Vert <!--\; \Vert \; -->B_1-<!--\; -\; -->B_2\Vert <!--\; \Vert \; -->=2$$\|B_{1}-B_{2}\|=2$.

Лемма 1Править

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если $B_1(x)\le <!--\; \le \; -->B_2(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x\ge <!--\; \ge \; -->0$$B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0$, то $B_1(x)=B_2(x)$$B_1(x)=B_2(x)$ .

Доказательство

Если $B_1(u)\le <!--\; \le \; -->B_2(u)$$B_1(u)\le B_2(u)$ для какого-то $u\in l_{\infty} \quad u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \forall \lambda > 0 \quad u\ne 0 \quad B_1(\lambda u) < B_2(\lambda u)$ . Возьмём $0 < \lambda < \frac{1}{\|u\|} \quad\Rightarrow\quad 0 \le \lambda u \le \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{1}-\lambda u\ge 0$ , $B_1(\mathbf{1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}u)=1-<!--\; -\; -->B_1(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}u)>1-<!--\; -\; -->B_2(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}u)=B_2(\mathbf{1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}u)$$B_1(\mathbf{1}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)>1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathbf{1}-\lambda u)$

Получаем противоречие, которое доказывает лемму.

Теорема 1Править

Функционал $f\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f\in l_{\infty}^{*}$ можно представить в виде $f=B_1-<!--\; -\; -->B_2$$f=B_1-B_2$ ($B_1,B_2\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B_1,B_2\in\mathfrak{B}$) тогда и только тогда, когда

1. $f(Tx)=f(x)$$f(Tx)=f(x)$ для всех $x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$x\in l_{\infty}$
2. $f(\mathbf{1})=1$$f(\mathbf{1})=1$
3. $\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}\le <!--\; \le \; -->2$$\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы $\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=2$$\|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2$ .

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

$g=max(f,0)=\underset{0\le <!--\; \le \; -->u\le <!--\; \le \; -->x}{sup}f(u)g\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}g\ge <!--\; \ge \; -->0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\le <!--\; \le \; -->0$$g=\max(f,0)=\sup_{0\le u\le x}f(u)\quad g\in l_{\infty}^{*}\quad g\ge 0 \quad\forall x\le 0$

Используя свойства 1.—3. получаем:

$g(\mathbf{1})=\underset{0\le <!--\; \le \; -->u\le <!--\; \le \; -->\mathbf{1}}{sup}f(u)=\underset{0\le <!--\; \le \; -->u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\le <!--\; \le \; -->\mathbf{1}}{sup}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\underset{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\mathbf{1}\le <!--\; \le \; -->u\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}\mathbf{1}}{sup}(f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\underset{\left|u\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}\mathbf{1}}{sup}f(u)=\frac{1}{2}\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}\le <!--\; \le \; -->1$$g(\mathbf{1})=\sup_{0\le u\le \mathbf{1}}f(u)=\sup_{0\le u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\le \mathbf{1}}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\sup_{-\frac{1}{2}\mathbf{1}\le u\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} (f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\sup_{\left | u \right |\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} f(u)=\frac{1}{2}\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 1$ Для $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in\mathfrak{B}$ справедливо, что $B_1=g+(1-<!--\; -\; -->\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->}{2})B\ge <!--\; \ge \; -->0B_1(Tx)=B_1(x)B_1(\mathbf{1})=1$$B_1=g+(1-\frac{\|f\|}{2})B\ge 0 \qquad B_1(Tx)=B_1(x) \qquad B_1(\mathbf{1})=1$,

значит $B_1$$B_1$ — банахов предел. То же самое верно для функционала $B_2=B_1-<!--\; -\; -->f=g-<!--\; -\; -->f+(1-<!--\; -\; -->\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->}{2})B$$B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\|f\|}{2})B$. По построению $B_1-<!--\; -\; -->B_2=f$$B_1-B_2=f$. Докажем единственность такого представления при $\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\|f\|=0$. Пусть $f=B_1-<!--\; -\; -->B_2$$f=B_1-B_2$ при $\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\|f\|=0$.

$B_1=f+B_2{B}_2=f-<!--\; -\; -->B_1$$B_1=f+B_2 \quad B_2=f-B_1$
$B_1\ge <!--\; \ge \; -->0B_1\ge <!--\; \ge \; -->0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B_1\ge <!--\; \ge \; -->f{B}_2\ge <!--\; \ge \; -->f$$B_1\ge 0 \quad B_1\ge 0 \Rightarrow B_1\ge f \quad B_2\ge f$
$B_1\ge <!--\; \ge \; -->max(f,0)B_2\ge <!--\; \ge \; -->max(-<!--\; -\; -->f,0)$$B_1\ge \max(f,0) \quad B_2\ge \max(-f,0)$

Выше доказано, что $max(f,0)\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$max(f,0)\in\mathfrak{B}$, аналогичные рассуждения показывают, что $max(-<!--\; -\; -->f,0)\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$max(-f,0)\in\mathfrak{B}$. По лемме 1 получаем

$B_1=max(f,0)B_2=max(-<!--\; -\; -->f,0)$$B_1=\max(f,0) \quad B_2=\max(-f,0)$

Теорема доказана.

Понятие почти сходимостиПравить

Для заданных $a\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^1$$a\in\R^1$  , $x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$x\in l_{\infty}$ , для любых $\mathrm{B}\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$\mathrm\Beta\in \mathfrak{B}$ 

$B(x)=a\iff <!--\; \iff \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{n}\underset{k=m+1}{\overset{m+n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k=a$$B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a$ 

равномерно по $m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$m\in\N$  . Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{inf}\frac{1}{n}\underset{k=m+1}{\overset{m+n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k\le <!--\; \le \; -->B(x)\le <!--\; \le \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{sup}\frac{1}{n}\underset{k=m+1}{\overset{m+n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k$$\lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le\lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k$ 

Последовательность $x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$x\in l_{\infty}$  называется почти сходящейся к числу $a\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^1$$a\in\R^1$ , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны $a$$a$ . Используется следующее обозначение: $Lim{x}_k=a$$Lim\,x_k=a$ . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение $ac$$ac$ . $ac$$ac$  — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в $l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$l_{\infty}$  . Множество почти сходящихся к числу $s$$s$  последовательностей обозначается как $a{c}_s$$ac_s$ . Ясно, что $a{c}_s\subset <!--\; \subset \; -->ac$$ac_s\subset ac$  для любого $s$$s$  .

ПримерПравить

Последовательность $x=(1,0,1,0,...)$$x=(1,0,1,0,...)$  не имеет обычного предела, но $Limx=\frac{1}{2}$$Lim\,x=\frac{1}{2}$  . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: $x_k=1-<!--\; -\; -->x_{k+1}$$x_k=1-x_{k+1}$  .

$Lim{x}_k=Lim(\mathbf{1}-<!--\; -\; -->x_{k+1})=1-<!--\; -\; -->Lim{x}_{k+1}=1-<!--\; -\; -->Lim{x}_k$$Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k$ 

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2Править

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .

Характеристические функцииПравить

Системой Радемахера называется последовательность функций

$r_n(t)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\sin <!--\; \; -->(2^n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t)n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1]$ 

Каждому $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B\in\mathfrak{B}$  можно поставить в соответствие функцию

$f_B(t)=B(r_n(t))$$f_B(t)=B(r_n(t))$ 

которая называется характеристической функцией банахова предела $B$$B$ . $f_B$$f_B$  — комплекснозначная функция.

Теорема 2Править

Если $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$A,B\in\mathfrak{B}$  и $f_A(t)\le <!--\; \le \; -->f_B(t)$$f_A(t)\le f_B(t)$  для всех $t\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$t\in(0,1)$  , то $A=B$$A=B$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->l_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$x\in l_{\infty}$  .

Свойства характеристических функцийПравить

Пусть $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$A,B\in\mathfrak{B}$  , тогда

1. $f_B(t)$$f_B(t)$  периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из $(0,1)$$(0,1)$ 
2. $f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$$f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$  для любых $t\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$t\in(0,1)$ 
3. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1]\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->2^{\mathbb{N}}\cap <!--\; \cap \; -->ac$$\forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac$  , что $B(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$B(x) = \lambda$  для любого $B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{B}$$B \in \mathfrak{B}$  и $Im{f}_B=[-<!--\; -\; -->1,1]$$Im \, f_B = [-1,1]$ 
4. график $f_B$$f_B$  плотен в прямоугольнике $[0,1]\times <!--\; \times \; -->[-<!--\; -\; -->1,1]$$[0,1] \times [-1,1]$ 
5. $f_B(t)+f_B(1-<!--\; -\; -->t)=0$$f_B(t)+f_B(1-t)=0$  для всех $t\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$t \in (0,1)$ 

ЛитератураПравить

• Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
• Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
• E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
• Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
• Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
• Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)