Теорема Бёрча

Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы БёрчаПравить

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, $r_1,\dots <!--\; \dots \; -->,r_k$$r_{1},\dots ,r_{k}$  нечётные натуральные числа, а $f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_k$$f_{1},\dots ,f_{k}$  однородные многочлены с коэффициентами из K степени $r_1,\dots <!--\; \dots \; -->,r_k$$r_{1},\dots ,r_{k}$  соответственно от n переменных. Тогда существует число $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(r_1,\dots <!--\; \dots \; -->,r_k,l,K)$$\psi (r_{1},\dots ,r_{k},l,K)$ , такое что при

$n⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(r_1,\dots <!--\; \dots \; -->,r_k,l,K)$$n\geqslant \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)$ 

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

$f_1(x)=\cdots <!--\; \cdots \; -->=f_k(x)=0\text{ для всех }x\in <!--\; \in \; -->V.$$f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ для всех }}x\in V.$ 

ПримечанияПравить

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм $f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_k$$f_{1},\dots ,f_{k}$ . Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения кругового метода Харди – Литлвуда^[en], теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

$c_1{x}_1^r+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{x}_n^r=0,c_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\ldots ,n$ 

имеет решение в целых числах $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_1,\dots,x_n$ , в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.