Тождество Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]:<!--\; :\; -->V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->V$$[\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V$ на линейном пространстве $V$$V$. Имеет следующий вид:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y,z\in <!--\; \in \; -->V:<!--\; :\; -->[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$$\forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

ПримерыПравить

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах ЛиПравить

Если умножение $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:<!--\; :\; -->y\mapsto <!--\; \mapsto \; -->[x,y]$$\mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]$ 

Записав тождество Якоби в форме

$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$ 

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$$\mathrm {ad} _{x}$ :

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x[y,z]=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}y,z]+[y,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}z]$$\mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]$ 

Таким образом, ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$$\mathrm {ad} _{x}$  — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{[x,y]}=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y]={\mathrm{a}\mathrm{d}}_x{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y-<!--\; -\; -->{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$$\mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}$ 

Это означает, что оператор $\mathrm{a}\mathrm{d}$$\mathrm {ad}$  задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество ЯкобиПравить

Пусть $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}={\oplus <!--\; \oplus \; -->}_i{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^i$$\Omega = \oplus_{i} \Omega^i$  — градуированная алгебра, $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  — умножение в ней. Говорят, что умножение в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^i$$\omega _{i}\in \Omega ^{i}$ 

$[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m,[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_l]=[[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k],{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_l]+(-<!--\; -\; -->1{)}^{mk}[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k,[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_l]$$[\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]$ 

ПримерыПравить

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;