Стрелочные обозначения Кнута

В математике стрелочная нота́ция Кну́та — это метод для записи больших чисел. Её идея основывается на том, что умножение — множественное сложение, возведение в степень — множественное умножение. Была предложена Дональдом Кнутом в 1976 году. Тесно связана с функцией Аккермана и последовательностью гипероператоров.

Тетрация, записанная с помощью стрелочной нотации Кнута:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b&&b\end{matrix}}$.

Пентация в обозначениях Кнута:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$.

В указанных обозначениях присутствует b операндов, каждый из которых равен a, соответственно операции повторяются $b-<!--\; -\; -->1$$b-1$ раз.

ВведениеПравить

Обычные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень — естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом:

Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить b копий числа a»):

${\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b\end{matrix}}$ ,

например,

${\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3\end{matrix}}$ .

Возведение числа а в степень b может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить b копий числа a»), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:

${\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b\end{matrix}}$ 

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3\end{matrix}}$ 

Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.

Продолжая далее последовательность операций за пределы возведения в степень, Дональд Кнут ввёл понятие оператора «двойная стрелочка» для записи тетрации (многократного возведения в степень):

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b&&b\end{matrix}}$ .

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}\approx 1{,}3\times 10^{154}\\&&3&&3\end{matrix}}$ .

Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево. Также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->2=3^3=27$$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$ ,

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987$ ,

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}\approx <!--\; \approx \; -->1,3\times <!--\; \times \; -->{10}^{3638334640024}$$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7\,625\,597\,484\,987}\approx 1{,}3\times 10^{3\,638\,334\,640\,024}$ ,

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}$$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7\,625\,597\,484\,987}}$ ,

и так далее.

Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$ ,

затем оператора «четверная стрелочка»:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b\end{matrix}}$ 

и т. д. Общее правило оператор «n-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов «n-1 стрелочка». Символически это можно записать следующим образом:

$\begin{array}{c}a\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}_{}\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}b=a\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}a\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}_{}\dots <!--\; \dots \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}a\dots <!--\; \dots \; -->a\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}_{}\dots <!--\; \dots \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}a\\ n\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{n_{}-<!--\; -\; -->1n-<!--\; -\; -->1n-<!--\; -\; -->1}\\ b\end{array}$${\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b\end{matrix}}$ .

Например:

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->2=3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987$ ,

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&7625597484987\end{matrix}}$ .

Форма обозначения $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}b$$a\uparrow ^{n}b$  обычно используется для записи $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b$  с n стрелочками.

Система обозначенийПравить

В таких выражениях как $a^b$$a^{b}$ , обычно для обозначения возведения в степень пишут показатель степени $b$$b$  как верхний индекс основания $a$$a$ . Но многие другие среды — такие как языки программирования и e-mail — не поддерживают подобную двумерную конфигурацию. Поэтому пользователи должны использовать линейную форму записи $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow b$  для таких сред; стрелочка наверх предлагает возвести в степень степени. Если среди доступных символов нет стрелочки наверх, тогда вместо неё используется корректурный знак вставки «^».Верхний индекс записи $a^b$$a^{b}$  сам по себе не приспособлен к обобщению, что объясняет, почему Дональд Кнут вместо такой формы записи выбрал линейную форму записи $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow b$ .

Обозначение «↑»Править

Попытка написать выражение $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow \uparrow b$ , используя знакомую форму записи с показателями степени, порождает башню степеней. Например:

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->4=a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a=a^{a^{a^a}}$$a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow a\uparrow a\uparrow a=a^{a^{a^{a}}}$ .

Если b является переменной величиной (или очень большое), башня степеней может быть записана, используя точки и с пометкой, показывающей высоту башни

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$$a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}$ .

Используя такую форму записи, выражение $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow \uparrow \uparrow b$  может быть записано как набор (стек) таких степенных башен, каждая из которых показывает степень вышележащей

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->4=a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a=\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}$ .

И снова, если b является переменной величиной (или очень большое), набор таких степенных башен может быть записан, используя точки и с пометкой, показывающей их высоты

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b=\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}b$$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$ .

Более того, выражение $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$  может быть записано, используя несколько колонок подобных степенных башен, где каждая колонна показывает число степенных башен в наборе слева

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->4=a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->a=\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}a$$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$ .

В более общем случае:

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\cdots <!--\; \cdots \; -->\}a}}$$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}$ .

Так можно писать неограниченно долго, чтобы представить $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}b$$a\uparrow ^{n}b$  как итерацию возведения в степень для любого a, n и b (хотя понятно, что и это становится достаточно громоздким).

Использование тетрацииПравить

Форма записи ${}^{b}a$$^{{b}}a$  в виде тетрации позволяет упростить такие схемы, при этом продолжая использовать геометрическое представление (мы можем их назвать тетрационными башнями).

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b={}^{b}a$$a\uparrow \uparrow b={}^{b}a$ ,

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b=\underset{b}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a.}.}.}a}a}}$$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}$ ,

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b=\underset{\underset{\underset{a}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{⋮<!--\; ⋮\; -->}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a.}.}.}a}a}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a.}.}.}a}a}}\}b$$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$ .

Наконец, в качестве примера, четвёртое число Аккермана $4{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{4}4$$4\uparrow ^{4}4$  может быть записано в виде:

$\underset{\underset{\underset{4}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^4.}.}.}4}4}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^4.}.}.}4}4}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^4.}.}.}4}4}}=\underset{\underset{{}^{{}^{{}^{4}4}4}4}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^4.}.}.}4}4}}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^4.}.}.}4}4}}$$\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}$ .

ОбобщениеПравить

Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора n-стрелочка ${\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^n$$\uparrow ^{n}$  предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам. Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма. Для его записи может быть использована цепочка Конвея: цепочка из трёх элементов эквивалентна другой системе записи, но цепочка из четырёх и более элементов является более мощной формой записи.

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knut)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$ 

Общепринято использовать стрелочную форму записи Кнута для маленького размера чисел, а цепные стрелочки или гипероператоры для большого размера.

ОпределениеПравить

Обозначение стрелочка вверх формально определяется так

$a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{если }}n=1;\\1,&{\mbox{если }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{в ином случае}}\end{matrix}}\right.$ 

для всех целых $a,b,n,$$a,b,n,$  где $b\ge <!--\; \ge \; -->0,n\ge <!--\; \ge \; -->1$$b\geq 0,n\geq 1$ .

Все стрелочные операторы (включая обычное возведение в степень, $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow b$ ) обладают правой ассоциативностью, то есть, их вычисление осуществляется справа налево, если выражение содержит два и более подобных оператора. Например,

$a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b\uparrow <!--\; \uparrow \; -->c=a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->(b\uparrow <!--\; \uparrow \; -->c)$$a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)$ , но не $(a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b)\uparrow <!--\; \uparrow \; -->c$$(a\uparrow b)\uparrow c$ ;

$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->3=3^{3^3}$$3\uparrow \uparrow 3=3^{{3^{3}}}$  равно $3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$3^{{(3^{3})}}=3^{{27}}=7625597484987$ , но не ${\left(3^3\right)}^3={27}^3=19683.$$\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683.$ 

Есть хорошая причина для подобного выбора направления вычисления справа налево. Если бы мы использовали способ вычисления слева направо, тогда $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->b$$a\uparrow \uparrow b$  было бы равно $a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->(a\uparrow <!--\; \uparrow \; -->(b-<!--\; -\; -->1))$$a\uparrow (a\uparrow (b-1))$ , и тогда $\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->$$\uparrow \uparrow$  в действительности не являлся бы новым оператором.

Правая ассоциативность также естественна по следующей причине. Мы можем переписать повторяемые стрелочные выражения $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^n\cdots <!--\; \cdots \; -->{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}a,$$a\uparrow ^{n}\cdots \uparrow ^{n}a,$  которые появляются при расширении $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n+1}b$$a\uparrow ^{{n+1}}b$  в виде $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^n\cdots <!--\; \cdots \; -->{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}1$$a\uparrow ^{n}\cdots \uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}1$ , где всe a становятся левыми операндами стрелочных операторов. Это важно, так как стрелочные операторы не являются коммутативными.

Записывая $(a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^m{)}^b$$(a\uparrow ^{m})^{b}$  как функциональный показатель степени b функции $f(x)=a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}x,$$f(x)=a\uparrow ^{m}x,$  мы получим $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}b=(a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n-<!--\; -\; -->1}{)}^{b}1$$a\uparrow ^{n}b=(a\uparrow ^{{n-1}})^{b}1$ .

Определение можно продолжить ещё на один шаг, начиная с $a{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{n}b=ab$$a\uparrow ^{n}b=ab$  для n = 0, так как возведение в степень есть повторяемое умножение, начиная с 1. Экстраполировать ещё на один шаг, записывая умножение как повторяемое сложение, не совсем верно так как умножение есть повторяемое сложение, начиная с 0 вместо 1. «Экстраполируя» снова на один шаг, записывая добавочный n как повторяемое добавление 1, требует начинать с числа a. Это отличие также подчёркивается в определении гипероператора, где начальные значения для сложения и умножения задаются раздельно.

Таблица значенийПравить

Расчёт $2{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$2\uparrow ^{m}n$  может быть переформулирован в терминах бесконечной таблицы. Мы размещаем числа $2^n$$2^{n}$  в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 2. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $2{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$2\uparrow ^{m}n$  = hyper(2, m + 2, n) = 2 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	6	Формула
1	2	4	8	16	32	64	$2^n$$2^{n}$
2	2	4	16	65536	$2^{65536}\approx <!--\; \approx \; -->2,0\times <!--\; \times \; -->{10}^{19,729}$$2^{65536}\approx 2{,}0\times 10^{19,729}$	$2^{2^{65536}}\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{6,0\times <!--\; \times \; -->{10}^{19,728}}$$2^{2^{65536}}\approx 10^{6{,}0\times 10^{19,728}}$	$2\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$2\uparrow \uparrow n$
3	2	4	65536	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{2_{}^{2^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^2}}}}}}\\ 65536\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536\end{matrix}}$			$2\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$2\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	2	4	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{2_{}^{2^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^2}}}}}}\\ 65536\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536\end{matrix}}$				$2\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Таблица такая же, как в статье функция Аккермана, за исключением сдвига в значениях $m$$m$  и $n$$n$ , и в добавке в размере 3 ко всем значениям.

Расчёт $3{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$3\uparrow ^{m}n$ 

Мы размещаем числа $3^n$$3^n$  в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 3. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $3{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$3\uparrow ^{m}n$  = hyper(3, m + 2, n) = 3 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	Формула
1	3	9	27	81	243	$3^n$$3^n$
2	3	27	7,625,597,484,987	$3^{7,625,597,484,987}$$3^{{7,625,597,484,987}}$		$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$3\uparrow \uparrow n$
3	3	7,625,597,484,987	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{3_{}^{3^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^3}}}}}}\\ 7,625,597,484,987\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987\end{matrix}}$			$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$3\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	3	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{3_{}^{3^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^3}}}}}}\\ 7,625,597,484,987\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987\end{matrix}}$				$3\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Расчёт $10{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$10\uparrow ^{m}n$ 

Мы размещаем числа ${10}^n$$10^{n}$  в верхнем ряду и заполняем колонку слева числом 10. Для определения числа в таблице следует взять число, ближайшее слева, затем найти сверху требуемое число в предыдущем ряду, в позиции, заданной только что полученным значением.

Значения $10{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$10\uparrow ^{m}n$  = hyper(10, m + 2, n) = 10 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	Формула
1	10	100	1000	10,000	100,000	${10}^n$$10^{n}$
2	10	10,000,000,000	${10}^{10,000,000,000}$$10^{{10,000,000,000}}$	${10}^{{10}^{10,000,000,000}}$$10^{{10^{{10,000,000,000}}}}$	${10}^{{10}^{{10}^{10,000,000,000}}}$$10^{{10^{{10^{{10,000,000,000}}}}}}$	$10\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$10\uparrow \uparrow n$
3	10	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{10}_{}^{{10}^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^{10}}}}}}}\\ 10\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10\end{matrix}}$	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{10}_{}^{{10}^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^{10}}}}}}}\\ {10}^{10}\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10}\end{matrix}}$	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{10}_{}^{{10}^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^{10}}}}}}}\\ {10}^{{10}^{10}}\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10^{10}}\end{matrix}}$		$10\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$10\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	10	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{10}.}.}.}10}10}\\ 10\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10\end{matrix}}$	$\begin{array}{c}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{10}.}.}.}10}10}\\ {10}^{10}\end{array}$${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10^{10}\end{matrix}}$			$10\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->\uparrow <!--\; \uparrow \; -->n$$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Для 2 ≤ n ≤ 9 численное расположение $10{\uparrow <!--\; \uparrow \; -->}^{m}n$$10\uparrow ^{m}n$  является лексикографическим порядком с m как наиболее значимым числом, так что порядок чисел этих 8 колонок есть просто линия-за-линией. То же самое применимо и для чисел в 97 колонках с 3 ≤ n ≤ 99, и мы начинаем с m = 1 даже для 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Knuth Up-Arrow Notation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.