Стохастический интеграл

Стохастический интеграл — интеграл вида $\int <!--\; \int \; -->f(t)dy(t)$$\int f(t)dy(t)$, где $y(t),t\in <!--\; \in \; -->T$${y(t),t\in T}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функцииПравить

Введем гильбертово пространство $H$$H$  случайных величин $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ , со скалярным произведением $({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2)=\mathbb{E}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2}$$(\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}$  и среднеквадратичной нормой $\Vert {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1\Vert ={\left(\mathbb{E}{\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|}^2\right)}^{1/2}$$\left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}$ . Здесь $\mathbb{E}$${\mathbb {E}}$  - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.

Пусть $T$$T$  - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\left(s,t\right]\subseteq <!--\; \subseteq \; -->T$$\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$  задана стохастическая аддитивная функция $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})$$\eta (\Delta )$  с ортогональными значениями из гильбертова пространства $H$$H$  случайных величин $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ , обладающая свойствами:

• Для любых непересекающихся ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1$$\Delta _{1}$ , ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta _{2}$ , величины $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1)$$\eta (\Delta _{1})$ ,$\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2)$$\eta (\Delta _{2})$  являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: $\left(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1),\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2)\right)=0$$\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$ 
• Если ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1$$\Delta _{1}$ , ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta _{2}$  являются непересекающимися полуинтервалами и ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1\cup <!--\; \cup \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta _{1}\cup \Delta _{2}$  составляет полуинтервал, то $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1\cup <!--\; \cup \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2)=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1)+\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2)$$\eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$ 
• ${\Vert \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\Vert }^2=\left|\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\right|$$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Здесь $\Vert \Vert$$\left\|\right\|$  - норма в гильбертовом пространстве, $\left|\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\right|=t-<!--\; -\; -->s$$\left|\Delta \right|=t-s$  при $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\left(s,t\right]$$\Delta =\left(s,t\right]$ .

Пусть $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  детерминированная функция, удовлетворяющая условию $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ . Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(t)$$\varphi _{n}(t)$ , аппроксимирующих функцию $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  так, что $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_T{\left|\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(t)\right|}^{2}dt\to <!--\; \to \; -->0$$\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$ ,

Стохастическим интегралом ${\int <!--\; \int \; -->}_T\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(dt)$$\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$  от детерминированной функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  называется предел ${\int <!--\; \int \; -->}_T\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(dt)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_T{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(t)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(dt)$$\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$ 

Стохастический интеграл от стохастического процессаПравить

Рассмотрим интеграл

${\int <!--\; \int \; -->}_0^T\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t)d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t),$$\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),$ 

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T$${\omega (t),t\in T}$  — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал $[0;T]$$[0; T]$  точками $0=t_1,t_2,...,t_N,t_{N+1}=T$$0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$  на $N$$N$  подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений:

$I_0=lim\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i)[\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i)]$$I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{i})]$  или $I_1=lim\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})[\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i)].$$I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].$ 

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса

$I_1-<!--\; -\; -->I_0=lim\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}[\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i){]}^2=t.$$I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.$ 

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  сумму интегралов $I_0$$I_0$  и $I_1$$I_1$  следующей формулой:

$I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})I_0+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{I}_1=lim\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}[(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})][\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_{i+1})-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t_i)],$$I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],$ 

при $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->1$$0\leqslant \lambda \leqslant 1$ . Интеграл $I_0$$I_0$  соответствует интегралу Ито, а $I_{0,5}$$I_{{0,5}}$  совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл СтратоновичаПравить

Интеграл Стратоновича имеет вид

$I=\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}[f(t_i)+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-<!--\; -\; -->y(t_i)].$$I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].$ 

Интеграл ИтоПравить

Интеграл Ито имеет вид

$\int <!--\; \int \; -->f(t)dy(t)=\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(t_i)[y(t_{i+1})-<!--\; -\; -->y(t_i)].$$\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].$ 

Его основные свойства:

• $E\int <!--\; \int \; -->f(t)dy(t)=\int <!--\; \int \; -->Ef(t)dm(t).$$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$ 
• $cov\left[\int <!--\; \int \; -->f(t)dy(t),\int <!--\; \int \; -->g(t)dy(t)\right]=\int <!--\; \int \; -->[Ef(t)g(t)]dr(t).$$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$ 

Здесь $m(t)$$m(t)$  — функция среднего значения, $r(t)$$r(t)$  — ковариационная функция.

Интеграл ВинераПравить

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции $x(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$x(t,\alpha )$ . Интеграл вида

$\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dx(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )$ 

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства $x(0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$x(0,\alpha )=0$ :

$\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dx(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=f(1)x(1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})-<!--\; -\; -->\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{\prime }(t)x(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})dt.$$\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.$ 

Его основные свойства:

$\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dx(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0$ .

$\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\left[\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dx(t,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\right]}^2=\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^2(t)dt$$\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt$ .

См. такжеПравить

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

ЛитератураПравить

• Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.