Совершенная степень

Совершенная степень — положительное целое число $n$$n$, являющееся целой степенью $k$$k$ положительного целого числа $m$$m$: $n=m^k$$n=m^{k}$. При $k=2,3$$k=2,3$ число $n$$n$ называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как $0^k=0$$0^{k}=0$ и $1^k=1$$1^{k}=1$ для любого $k>0$$k>0$).

Демонстрация палочками Кюизенера природы совершенной степени чисел 4, 8 и 9.

Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для $m$$m$ и $k$$k$; первые несколько её членов (включая повторяющиеся):

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots <!--\; \dots \; -->$$2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Первые совершенные степени без дубликатов таковы:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

СвойстваПравить

Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как $3^4=9^2=81$$3^{4}=9^{2}=81$ ) равна 1:

$\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m^k}=1$$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1$ ,

что можно доказать следующим образом:

$\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m^k}=\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m^2}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m^k}=\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-<!--\; -\; -->1}\right)=\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{m(m-<!--\; -\; -->1)}=\underset{m=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{1}{m-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{m}\right)=1$$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1$ .

Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна:

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{n_i}=\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k)(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(k))\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,874}464368\dots <!--\; \dots \; -->$$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0{,}874464368\dots$ ,

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k)$$\mu (k)$  — функция Мёбиуса, а $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(k)$$\zeta (k)$  — дзета-функция Римана.

Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных $n_i-<!--\; -\; -->1$$n_{i}-1$  из последовательности совершенных степеней $\{n_i\}$$\{n_{i}\}$  без единицы и дубликатов равна 1:

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{n_i-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=1$$\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1$ ,

иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.

В 2002 году Преда Михэйлеску^[ro] доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это $2^3=8,3^2=9$$2^{3}=8,3^{2}=9$ , тем самым доказав гипотезу Каталана.

Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа $k$$k$  существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна $k$$k$ .

Выявление совершенных степенейПравить

Выявление того, является ли данное натуральное число $n$$n$  совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для $k$$k$  по каждому из делителей числа $n$$n$  вплоть до $k < n$ . Если делители $n$$n$  равны $n_1,n_2,\dots <!--\; \dots \; -->,n_j$$n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}$ , тогда одно из значений $n_1^2,n_2^2,\dots <!--\; \dots \; -->,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots <!--\; \dots \; -->$$n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots$  должно быть равно $n$$n$ , если $n$$n$  действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения $k$$k$ , поскольку для составного $k=ap$$k=ap$ , где $p$$p$  — простое число, $n=m^k$$n=m^{k}$  может быть переписано как $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$$n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}$ . Из-за этого следует, что минимальное значение $k$$k$  обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация $n$$n$ , например, $n=p_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{p}_2^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->p_r^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_r}$$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ , где $p_i$$p_{i}$  — различные простые числа, то $n$$n$  — совершенная степень тогда и только тогда, когда $gcd({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_r)>1$$\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$  ($gcd$$\gcd$  — наибольший общий делитель). Например, для $n=2^{9624}$$n=2^{9624}$ : поскольку $gcd(96,60,24)=12$$\gcd(96,60,24)=12$ , $n$$n$  — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

СсылкиПравить

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)