Гипотеза Пиллаи

Гипо́теза Пиллаи — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой при заданных натуральных числах $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A, B, C$ $A,B,C$ уравнение:

\text{[math]}

Ax^{m}-By^{n}=C

Ax^{m}-By^{n}=C

имеет лишь конечное число решений $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,y,m,n)$ $(x,y,m,n)$ в натуральных числах при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(m,n)\neq (2,2)$ $(m,n)\neq (2,2)$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m,n>1$ $m,n>1$ .

Иными словами, любое натуральное число $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ может быть представлено лишь конечным количеством разностей совершенных степеней.

Сформулирована Суббайей Пиллаи (там. சு. சி. பிள்ளை — версия статьи «Пиллаи, Суббайя Сивасанкаранараяна» на тамильском языке சு. சி. பிள்ளை) в 1931 году как обобщение гипотезы Каталана; несмотря на то, что гипотеза Каталана доказана 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu — версия статьи «Михэйлеску, Преда» на румынском языке Preda Mihăilescu), гипотеза Пиллаи остаётся нерешённой проблемой по состоянию на 2021 год.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Pillai's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.