Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)$$\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

ОпределениеПравить

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)$$\mu (n)$  определена для всех натуральных чисел $n$$n$  и принимает значения $-<!--\; -\; -->1,0,1$${-1,\;0,\;1}$  в зависимости от характера разложения числа $n$$n$  на простые сомножители:

• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)=1$$\mu (n)=1$ , если $n$$n$  свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$$n$  на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)=-<!--\; -\; -->1$$\mu (n)=-1$ , если $n$$n$  свободно от квадратов и разложение $n$$n$  на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)=0$$\mu (n)=0$ , если $n$$n$  не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(1)=1$$\mu (1)=1$ .

 

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «‎Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(p)=-<!--\; -\; -->1,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(p^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=0,\text{если}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1.$$\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{если}}\;\alpha >1.$ 

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложенияПравить

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$$a$  и $b$$b$  выполняется равенство $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(ab)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(a)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(b)$$\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$ .

• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$$n$ , не равного единице, равна нулю

$\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}$ 

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.$$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$ 

• $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(kn)}{k}=0,$$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$  где n — положительное целое число.

• $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k)\ln <!--\; \; -->k}{k}=-<!--\; -\; -->1.$$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$ 

• $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(2k+1)\ln <!--\; \; -->(2k+1)}{2k+1}=-<!--\; -\; -->2.$$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$ 

• $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k){\ln }^2<!--\; \; -->k}{k}=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},$$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k}}=-2\gamma ,$  где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — это постоянная Эйлера.

• $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(2k+1){\ln }^2<!--\; \; -->(2k+1)}{2k+1}=-<!--\; -\; -->4(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+ln2).$$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1}}=-4(\gamma +ln2).$ 

• Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)}{n^s}=\frac{1}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)}$$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s}}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$ .

Ряд абсолютно сходится при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$${{\rm {Re}}}\,s>1$ , на прямой $\mathrm{R}\mathrm{e}s=1$${{\rm {Re}}}\,s=1$  сходится условно, в области $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$  утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$  ряд заведомо не сходится, даже условно.

При $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$${{\rm {Re}}}\,s>1$  справедлива также формула:

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)|}{n^s}=\frac{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2s)}$$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s}}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$ 

• $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(pn)}{n^s}=\frac{p^s}{(1-<!--\; -\; -->p^s)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)},$$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s}}}}={\frac {p^{{s}}}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$  где p — простое число.

• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

$M(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(k).$$M(n)=\sum _{{k=1}}^{n}\mu (k).$ 

• Справедливы асимптотические соотношения:

$\frac{1}{x}\underset{n\le <!--\; \le \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)=o(1)$${\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)$  при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow \infty$ 

$\frac{1}{x}\underset{n\le <!--\; \le \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)|=\frac{1}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2)}+O(\frac{1}{\sqrt{x}})$${\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{{\sqrt x}}})$ ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна $1-<!--\; -\; -->1/\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2)=0,3920729$$1-1/\zeta (2)=0,3920729$ , а плотность множества единиц (или минус единиц) $1/2\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2)=0,30396355$$1/2\zeta (2)=0,30396355$ . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение МёбиусаПравить

Первая формула обращения МёбиусаПравить

Для арифметических функций $f$$f$  и $g$$g$ ,

$g(n)=\underset{d\mid <!--\; \mid \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(d)$$g(n)=\sum _{{d\,\mid \,n}}f(d)$ 

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\underset{d\mid <!--\; \mid \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$ .

Вторая формула обращения МёбиусаПравить

Для вещественнозначных функций $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$ , определённых при $x⩾<!--\; ⩾\; -->1$$x\geqslant 1$ ,

$g(x)=\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}f\left(\frac{x}{n}\right)$$g(x)=\sum _{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)$ 

тогда и только тогда, когда

$f(x)=\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)g\left(\frac{x}{n}\right)$$f(x)=\sum _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$ .

Здесь сумма $\underset{n⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}$$\sum _{{n\leqslant x}}$  интерпретируется как $\underset{n=1}{\overset{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$$\sum _{{n=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}$ .

Обобщённая функция МёбиусаПравить

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения $\prec <!--\; \prec \; -->$$\prec$ . Будем считать, что $a\preccurlyeq <!--\; \preccurlyeq \; -->b⟺<!--\; ⟺\; -->a\prec <!--\; \prec \; -->b\vee <!--\; \vee \; -->a=b$$a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$ .

ОпределениеПравить

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

${\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}$ 

Формула обращенияПравить

Пусть функции $g$$g$  и $f$$f$  принимают вещественные значения на множестве $A$$A$  и выполнено условие $g(x)=\underset{y\preccurlyeq <!--\; \preccurlyeq \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(y)$$g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$ .

Тогда $f(x)=\underset{y\preccurlyeq <!--\; \preccurlyeq \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_A^{\ast <!--\; \ast \; -->}(y,x)g(y)$$f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$ 

Связь с классической функцией МёбиусаПравить

Если взять в качестве $A$$A$  множество натуральных чисел, приняв за отношение $a\prec <!--\; \prec \; -->b$$a \prec b$  отношение $a\mid <!--\; \mid \; -->b\wedge <!--\; \wedge \; -->a\ne b$$a \mid b \land a \not = b$ , то получим ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathbb{N}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(a,b)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\frac{b}{a}\right)$${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)$ , где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathbb{N}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(1,n)$$\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k{C}_n^k=0$$\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$ , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. такжеПравить

• Свёртка Дирихле

ЛитератураПравить

• Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

СсылкиПравить

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса