Гипотеза Каталана

Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:

\text{[math]}

x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)

x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)

имеет единственное решение в натуральных числах: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3$ $x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3$ . Иными словами, кроме $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{3}=8$ $2^{3}=8$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $3^{2}=9$ $3^{2}=9$ не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел.

Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году^[1]^[2], доказана 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu — версия статьи «Михэйлеску, Преда» на румынском языке Preda Mihăilescu)^[3].

Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2021 год.

ПримечанияПравить

↑ E. Catalan. Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur (фр.) // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, n^o 192. — P. 165–186.
↑ Стюарт, 2015, с. 170.
↑ P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Vol. 572, no. 572. — P. 167–195. — doi:10.1515/crll.2004.048. Архивировано 22 октября 2012 года.

ЛитератураПравить

В. Сендеров, Б. Френкин. «Гипотеза Каталана». — Квант, 2007. — № 4.
Jeanine Daems. A cyclotomic proof of Catalan's conjecture.
Yuri F. Bilu. Catalan's conjecture (after Mihailescu). — 2002.
Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Catalan's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] E. Catalan. Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur (фр.) // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, n^o 192. — P. 165–186.

[_60c28730859dd5b8-2] Стюарт, 2015, с. 170.

[3] P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Vol. 572, no. 572. — P. 167–195. — doi:10.1515/crll.2004.048. Архивировано 22 октября 2012 года.

[1]

[2]

[3]